微积分中的积分是什么？

内容选自【马同学图解数学】系列课程，欢迎加入学习：

视频中例题代数解答如下：

例：计算  在  上的积分

计算  上的积分，就是计算下面这个区域的面积：

定义中讲过可以通过不同划分小矩形的方法来计算，下面我们用两种划分方法分别来计算这个区域的面积

1 第一种方法

在  上均匀的插入  个点，以右侧为高，则画出的矩形是这样的：

第  个矩形的底为  ，矩形的高为 

则第  个矩形的面积为：

  个矩形的面积和为

由于  , 因此

求  趋于无穷时的极限，这个极限我们可以只看分子分母的最高次项：

2 第二种方法

在底面以  取  个点，以左侧为高，则画出的矩形是这样的

第  个小矩形的底为第  个插入点的坐标减去第  插入点的坐标：

第  个小矩形的高为

则第  个矩形的面积为：

 面积和为

 求  趋于无穷时的极限，这里我们也只需要看分子分母的最高次项来减少计算量

 又根据公式：

 它的最高此项为：

当  趋于无穷时，极限为： 

 3 错误的例子

一直取剩余部分的中点，即点为  ，并以右边为高，取出来形状为：

第  个矩形的底为  ，第  个矩形的高为   则第  个矩形的面积为：

个矩形的面积和为

接下来一项一项来计算，第一项：

这是一个首项为  ，公比为  的等比数列求和，根据等比数列求和公式：

则：

第二项：

 是首项为  ，公比为  的等比数列求和，根据公式：

则：

第三项：

是首项为  ，公比为  的等比数列求和，根据公式：

则：

因此  趋于无穷时 

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