等比数列应该翻译为几何数列？为什么它与对数的发现有关？

等比数列（geometric progression）更直白的翻译是几何数列，但因前者更能体现其各项之间成比例的性质而更受欢迎。人们到底是什么时候开始研究等比数列的?谁也不能给出肯定的回答，因为随着文献的不断发掘和研究突破，等比数列出现的时间点也在不断的向前推移。

根据J·Friberg的最新研究，泥版MS3047背面所呈现的序列可能是目前为止发现最早的等比数列，它们满足通项公式

如下图，在MS3047背面（rev.）被可刻录出5段简单的数，根据"A remarkable collection of babylonian mathematical texts"一书所述，这五个数构成一个简单的等比数列，但是否当时的古巴比伦人就已经熟知并有意识的运用了等比数列，我们不得而知。

泥版MS3047也是最早的数学学习载体之一，成书于公元前3000年以前

趣味题中的等比数列

从泥版MS3047中所分析出来的信息是可能会随着时间的推移而有所改变的，但是我们可以看看古埃及文明，因为很多古埃及人留下的草书已被清晰完整的解读，所传递的信息要明确得多。关于等比数列，数学家们更认同最早有意识运用等比数列出现在古埃及的纸草书中。

《莱恩得纸草书》诞生于公元前17世纪，是一位埃及祭司用僧侣文抄写的题集。该草书的第79题便涉及到一个只有5项的等比数列，其首项和公差均为7.

一份财产含7间房,每间房有7只猫,每只猫吃7只老鼠,每只老鼠吃7枝大麦,每枝大麦生产7海卡原粮。问:这些财产:房、猫、老鼠、麦、原粮(海卡)各有多少?

草书除了给出各项的值（7, 49，343，2401，16807）外，还计算出了它们的总和为19607。尽管我们无从得知古埃及人是否已经知晓了等比数列的通项公式或前n项和公式，但是从字面上理解他们是从某个"法则"得到了结果，而非独立的运算。

这样一道简单的趣味题，以粮食的为背景，凸显了等比数列五个重要元素之间的关系（知三求一）:

其实，等比数列的题目主要都是围绕这5个元素展开，用到的公式较多，且题目需要计算的结果基本为前4个，关于项数n由于涉及到幂（或对数）运算，而在历史算题中没有出现。下面是关于等比数列的几个著名历史名题。

今有女善织 , 日自倍 , 五日织五尺 . 问日织几何？（公元一世纪《九章算术》）

已知公比，项数及前n项和，求各项。

棋盘问题：棋盘有64格，第一格放1粒米，第二格放2粒米，第三格放4粒米，依次加倍。把所有64格放满，问：共需要多少粒米。（9世纪，阿拉伯，al-Jaqubi ）

已知首项，公比，项数。求前n项和。

第一日给人一双贝壳 , 以后逐日倍增. 到月底共给人多少贝壳?（12世纪，印度，婆什迎罗）

已知首项，公比，项数。求前n项和。

等比数列在上述文明的发展中有着一个重要特点：涉及数列的项数有限——多数只有五、六项，少部分会涉及到几十或几百项，并且并没有将结论一般化。古希腊文明则要更加的严谨和抽象化一些。

等比数列与极限

古希腊人不但继承和学习了古埃及人和古巴比伦人的核心数学成果，并且在代数和几何上都有自己质的突破。等比数列作为一个"不太显眼"的数学内容，被公元前3世纪著名数学家欧几里得收录在它的《几何原本》一书中。

《几何原本》第九章（数论）的命题35，欧几里得从比例的角度给出了等比数列的前n项和公式。

如果众数成连比，从第二个和最后一个中减去等于第一个数，那么从第二个数得的差比第一个数等于从最后一个数得的差比最后一个数以前各项之和。

在此基础上引入公比q，稍作化简即可得到等比数列的前n项和公式（公比不为1时）：

欧几里得给出的这个结论并没有限制等比数列的项数，更具有一般性，而且证明也比较简单——主要运用了比例的简单性质。它是所有古代文献中关于等比数列相关公式最清晰、严谨的一个。作为一个重要应用，公元前2世纪著名数学家阿基米德借助等比数列求和得到了抛物线的弓形面积。

如图，阿基米德证明了△CDE与△ABC的面积之和等于△ACE面积的1/4，然后，在△CDE与△ABC上相似的再作两个三角形，这四个三角形的面积总和为△ACE面积的1/16.以此类推，阿基米德得到割线AE与抛物线围成的面积为：

当然阿基米德在求和（及极限）时使用了更复杂的方法，尽管极限方法不成熟，但是在这里他已经能够计算无穷项等比数列的和了。

等比数列与对数

不但在极限方面，等比数列与另一项重要发明也密切相关。对数被发明是基于简化复杂运算的需要，先来看一个朴素的想法：如果要计算8*32。如表一，我们只需要找到8所"对应"的指数3及32所"对应"的指数5，并将其相加得到3+5=8.再返回去找出8所"对应"的幂256.就可得到8*32=256.

再来一个难度大一些的，我们要计算59049*1594323。如表二，注意到59049"对"的指数为10，1594323"对"的指数为11，两者相加10+11=21，再找到21"对"的幂为10460353203.因此59049*1594323=10460353203.

从上面两个例子我们可以看到，这样一个"对应"的计算方法可以巧妙的将"乘法"变"加法"，进而大大简化运算。而且计算的关键在于制作类似上面的这样一张"表".将一个数与它的幂相"对应".

现在回过头来看，对数的发明最开始便是"等差数列"与"等比数列"的对应。可以设想，如果16世纪以前人们还没有发现"等比数列"，对数的发明也将不会在当时被发现。

等比数列与指数函数

作为等比数列

的延拓，指数函数

在数学及生活中有着不可替代的作用。在纯数学领域，指数函数与三角函数、复数等数学模块密切关联，在应用领域，由于等比数列显示出指数的增长或衰减，TR Malthus 将指数函数作为其人口原理的数学基础。