看到综合就头痛，那么数列综合有多痛？

考纲原文

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

知识点详解

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．

考向分析

考向一 等差、等比数列的综合应用

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，

（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；

（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．

考向二 数列与函数、不等式等的综合应用

1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．

解决数列与函数综合问题的注意点：

（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．

（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．

（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．

2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：

（1）判断数列问题中的一些不等关系；

（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；

（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．

在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．

考向三 等差、等比数列的实际应用

1．数列实际应用中的常见模型

①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数c,c是公差；

②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数q,q是公比；

③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．

2．解答数列实际应用题的步骤

①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；

②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；

③求解：求出该问题的数学解；

④还原：将所求结果还原到实际问题中．

在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：

①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；

②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．

考向四 数列中的探索性问题

对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：

（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；

（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．

考向五 数列的求和

求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：

（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；

（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.

（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.

常见的裂项方法有：