双曲线| k1-k2|的几何意义

我们知道，设点P是双曲线y＝k/x(k≠0)上任意一个点，过点P作x轴(或y轴)的垂线PA，垂足为A，则S_△OPA=1/2·|k|。这是双曲线y＝k/x中k的几何意义。

对于同一象限内的两条双曲线具有一个类似的性质：

如图1，设P、Q分别反比例函数y＝k₁/x和y＝k₂/x(k₁、k₂同号)在同一象限内的图象上的点，则当PQ平行于坐标轴时，S_△OPQ＝1/2·| k₁-k₂|或| k₁-k₂|＝2 S_△OPQ．

这就是| k₁-k₂|的几何意义，证明如下：

证明：延长PQ交坐标轴于点A．则

S_△OPQ＝|S_△OPA－S_△OQA|

＝1/2·|| k₁|-|k₂||＝1/2| k₁-k₂|；

或| k₁-k₂|＝2 S_△OPQ．

运用这个性质解决相关问题非常巧妙，十分简便．请看：

例1 如图2，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y₁＝k₁/x（x＞0）及y₂＝k₂/x（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k₁-k₂＝　 　．

解析：由图象易知k₁>k₂，

故由上述性质，得k₁-k₂＝2S_△OAB＝2×3＝6．

例2如图3，点A在双曲线y＝2/x上，点B在双曲线y＝5/x上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于______．

解析：直接由上述性质，得

S_△OAB＝1/2·|5－2|＝3/2．

例3 两个反比例函数y=3/x，y=6/x在第一象限内的图象如图4所示, 点P₁，P₂，P₃，…，P_{2 018}在反比例函数y=6/x图象上，它们的横坐标分别是x₁，x₂，x₃，…，x_{2 018}，纵坐标分别是1，3，5，…，共2018个连续奇数，过点P₁， P₂，P₃，…，P_{2 018}分别作y轴的平行线，与y=3/x的图象交点依次是Q₁(x₁，y₁)，Q₂(x₂，y₂)，Q₃(x₃，y₃)，…，Q_{2 018}(x_{2 018}，y_{2 018})，则y_{2 018}＝ ．

解析：连接OP₂₀₁₈，OQ₂₀₁₈，OP₁，OQ₁．则

S△OP₂₀₁₈Q₂₀₁₈＝S△OP₁Q₁

＝1/2·|6－3|＝3/2，

所以1/2·P₂₀₁₈Q₂₀₁₈×x_{2 018}＝3/2，

即P₂₀₁₈Q₂₀₁₈×x_{2 018}＝3，

因为从1开始第2018个连续奇数是：

2×2018－1＝4035，

所以P₂₀₁₈(x₂₀₁₈，4035)，

因为Q₂₀₁₈(x_{2 018}，y₂₀₁₈)，

所以P₂₀₁₈Q₂₀₁₈＝4035－y₂₀₁₈，

又x_{2 018}＝6/4035＝2/1345，

所以(4035－y₂₀₁₈)·2/1345＝3，

解得y₂₀₁₈＝4035/2．

例4如图5，已知点A、C在反比例函数y＝a/x的图象上，点B，D在反比例函数y＝b/x的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3/4，CD＝3/2，AB与CD间的距离为6，则a－b的值是　 　．

解析：连接OA、OB、OC、OD．

则S_△ABO＝S_△CDO＝1/2·(a-b)，

设△ABO底边AB上的高为h，由AB、CD间的距离为6，得△CDO的底边CD上高为(6－h)，则

S_△ABO＝1/2·AB·h ，

S_△CDO＝1/2·CD(6－h)，

所以1/2·AB·h＝1/2·CD(6－h)，

即AB·h＝CD(6－h)，

因为AB＝3/4，CD＝3/2，

所以3/4·h＝3/2·(6－h)，

解得：h＝4，

所以S_△ABO＝S_△CDO＝3/2，

所以1/2·(a－b)＝3/2，a－b＝3．

例5已知点A、C在反比例函数y＝a/x的图象上，点B，D在反比例函数y=b/x的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥y轴，AB，CD在y轴的两侧，AB＝3，CD＝2，如果a-b=6，则AB与CD间的距离为　 　．

解析：连接OA、OB、OC、OD．

则S_△ABO＝S_△CDO＝1/2·(a－b)=1/2·6=3，

所以△ABO底边AB上的高为2×3/AB=6/3=2，

△CDO的底边CD上高为2×3/CD=6/2=3，

所以点A到y轴的距离为2，点D到y轴的距离为3.

当AB、CD在同一象限时(如图6)，AB、CD间的距离为2+3=5；

当AB、CD在不同象限时，AB、CD间的距离为3-2=1．