神秘的根号（-1）

追梦人7v9hl8d0 2019-05-08

展开全文

选自《从一到无穷大》

G.伽莫夫著张卜天译

点击图片进入卜天译馆购买

神秘的

现在，我们来做点儿高级算术。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。[1]

但一个负数的平方根会是什么呢？和这样的表达式有什么意义吗？

如果你试图以理性的方式来理解这样的数，你一定会得出结论说，上述表达式没有任何意义。我们可以引用12世纪的印度数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，正数的平方根有两个：一个正的、一个负的。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”

但数学家都是固执的人。如果有某个看上去没有意义的东西不断出现在其公式中，他们就会尽力为其赋予意义。负数的平方根显然持续出现在各种地方，无论是过去的数学家所思考的简单算术问题，还是20世纪在相对论框架内将时间和空间统一起来的问题。

最早将负数的平方根这个看似没有意义的东西写到公式中的勇士是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成乘积等于40的两部分时，卡尔丹表明，虽然这个问题没有任何有理解，但如果把答案写成5+

和5-这两个荒谬的表达式就可以了。[2]

卡尔丹虽然承认这两个表达式没有意义，是虚构和想像的，但还是把它们写下来了。

如果有人敢把负数的平方根写下来，那么将10分成乘积等于40的两部分的问题就迎刃而解了，尽管它们是虚构的。一旦打破坚冰，负数的平方根，或如卡尔丹所称的“虚数”，就越来越被数学家们频繁使用了，尽管使用时总是很有保留，并且要找适当的借口。在著名德国科学家欧拉1770年出版的代数著作中，我们看到了对虚数的大量运用。但作为缓和，他又加上了如下评论：“所有像、……这样的表达式都是不可能的或想像中的数，因为它们表示的是负数的平方根。对于这类数，我们也许可以断言，它们既不是无，也不比无更多或更少。它们纯属虚幻或不可能。”

然而，尽管有这些毁谤和借口，虚数很快就成了数学中像分数或根式一样无法避免的东西。如果不使用虚数，几乎可以说寸步难行。

可以说，虚数家族代表着实数的一个虚构的镜像。正如我们从基本数1可以产生所有实数，我们也可以把当作虚数的基本数（通常用符号i表示），由它产生所有虚数。

不难看出，

=×=3i,

=×=0.264…i，等等，

因此每一个实数都有自己的虚数搭挡。我们还能像卡尔丹起初所做的那样把实数和虚数结合起来，组成像这样的表达式。这种混合形式通常被称为复数。

闯入数学领域之后足足两个世纪，虚数仍然被一张难以置信的神秘面纱包裹着，直到两位业余数学家，即挪威的测量员韦塞尔（Wessel）和巴黎的簿记员阿尔冈（Robot Argand），最终对虚数做出了简单的几何解释。

按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以像在图10中那样表示出来，其中3对应着水平距离，4对应着垂直距离。

事实上，所有实数（无论是正是负）都可以用横轴上的点来表示，所有纯虚数都可以用纵轴上的点来表示。我们把一个实数（代表横轴上的一个点）比如3乘以虚数单位i，就得到了位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，在几何上等价于逆时针旋转90°。（见图 10）。

图10

如果把3i再乘以i，则须再旋转90°，结果又回到了横轴，不过现在位于负数那一边。因此，

3i × i == -3，

或

= -1。

说“i的平方等于-1”远比说“两次逆时针旋转90°便成反向”更容易理解。

当然，同样的规则也适用于混合的复数。把3＋4i乘以i，我们得到

（3 + 4i）i = 3i + 4 = 3i -4 = -4+ 3i。

由图10立即可以看到，-4 + 3i这个点对应于3 + 4i这个点围绕原点逆时针旋转90°。同样，由图 10也可以看出，一个数乘以-i不过是它围绕原点顺时针旋转 90°罢了。

如果你仍然觉得虚数蒙有一层神秘的面纱，那就让我们通过解决一个虚数有实际应用的简单问题来揭开它吧。

有一个喜欢冒险的年轻人，在他曾祖父的遗稿中发现了一张羊皮纸，上面透露了一个藏宝地点。它是这样写着的：

乘船至北纬、西经，[3]即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地，草地上有一颗橡树和一颗松树。[4]那里还能看到一个年代已久的绞架，那是我们曾经用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，记住走了多少步；到了橡树之后，向右转个直角再走这么多步，在那里打个桩。然后回到绞架朝松树走，记住所走的步数。到了松树之后，向左转个直角再走这么多步，在那里也打个桩。在两个桩的中间挖掘，即可找到财宝。

这些指令清楚而明确。于是，这位年轻人租了一条船驶往南太平洋。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但让他大失所望的是，绞架不见了。此时距离写下那份遗稿已经过去太长时间，风吹日晒雨淋已使绞架的木头彻底腐烂，归于泥土，当初所在的位置一点痕迹也没有留下来。

我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望。愤怒而狂乱的他开始在地上胡乱挖掘。但这个岛面积太大了，他的所有努力都付诸东流。一无所获的他只得返航。如今，那财宝可能还在岛上埋着呢！

这是一个不幸的故事，但更为不幸的是，如果这个小伙子懂点数学，特别是懂得如何运用虚数，他或许能够找到财宝。现在让我们为他找找看，尽管对他来说已经太晚了。

图11 用虚数寻宝

把这个岛看成一个复数平面。过两树的根画出一轴（实轴），过两树的中点作另一轴（虚轴）与实轴垂直（见图11）。取两树距离的一半作为我们的长度单位，于是可以说，橡树位于实轴上的-1点，松树位于+1点。我们不知道绞架在哪里，不妨用希腊字母Γ（这个字母的样子倒像个绞架！）来表示它的假设位置。由于该位置并不一定在两根轴中的某一轴上，所以应把Γ看成一个复数，即 Γ = a + bi。

现在我们来做些简单的计算，别忘了前面讲过的虚数的乘法规则。如果绞架在Γ，橡树在－1，则两者的方位距离为

–1–Γ=–(1＋Γ)。

同样，绞架与松树的方位距离为1–Γ。根据上述规则，将这两段距离分别沿顺时针（向右）和逆时针（向左）旋转 90°，就是把它们分别乘以–i和i，这样便求出了我们打的两根桩的位置：

第一根桩：(–i)[–(1＋Γ)] + 1= i(Γ + 1) + 1，

第二根桩：( +i)(1–Γ)－1= i(1–Γ)–1。

由于财宝在两根桩的正中间，所以我们应求出上述两个复数之和的一半，即

1/2［i(Γ + 1) + 1 + i(1–Γ)–1］

=1/2 (iΓ + i + 1 + i–iΓ–1)= 1/2(2i) = i。

由此可见，Γ所表示的绞架的未知位置已经从我们的运算过程中消失了。无论绞架在哪里，财宝都必定在+i这个点上。

因此，如果这个年轻人能做这么一点简单的数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，而只要在图11中打×的地方寻找财宝。

如果你仍然不相信，要找到财宝完全不需要知道绞架的位置，你可以在一张纸上标记出两棵树的位置，再为绞架假设几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的指令去做。你将总是得到复数平面上对应于+i的那个位置！

通过运用-1的平方根这个虚数，我们还找到了另一项隐秘的财宝：我们惊讶地发现，普通的三维空间能与时间结合成受四维几何学规则支配的四维空间。我们将在接下来的某一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论，届时会回到这一发现。