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初中数学中的几何证明题一直都是一些学生的致命伤，每次数学考试必定会失分，不是逻辑推理混乱，就是不会添加辅助线，究其原因，主要是没有掌握正确的解题步骤。为了帮助学生们在这类题中得高分，本文利用八年级特殊四边形的证明题，给大家详细讲解一下解题思路的分析过程。 已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN； (1)证明：MN垂直平分ED； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论； 证明（一）1、根据需要证明的结论，反推需要添加的辅助线 证明：MN垂直平分ED，推断等腰三角形中的三线合一性质会出现这样的结论，因此需要添加辅助线构造等腰三角形，顺次连接M、D、E、N，可以构造出两个等腰三角形，分别是：△MED和△NED。 2、根据需要证明的结论，反推需要先证明哪些结论 根据等腰三角形三线合一的性质，证明：MN垂直平分ED，需要先证明△MED和△NED是等腰三角形、MN是等腰三角形的角平分线， 根据等腰三角形和角平分线的性质，需要先证明EM=DM，EN=DN，∠EMN=∠DMN，∠ENM=∠DNM。 根据全等三角形的性质，证明：∠EMN=∠DMN，∠ENM=∠DNM，需要先证明△MEN≌△MDN。 3、根据题目中的条件，可以推断得到哪些结论 条件：BD，CE是△ABC的两条高，可以得到四个直角三角形，分别是：△BEC、△AEF、△AFD、△BCD。 条件：点M，N分别是AF，BC的中点，可以得到EN是△BEC的中线、DN是△BCD的中线、EM是△AEF的中线、DM是△AFD的中线。 根据直角三角形的性质，可以得到EM=1/2AF，DM=1/2AF，EN=1/2BC，DN=1/2BC，即EM=DM，EN=DN。 根据全等三角形的判定，可以得到△MEN≌△MDN。 证明（二）1、此小题的辅助线与上一小题相同。 2、根据需要证明的结论反推需要先证明哪些结论 根据正方形的判定，证明：四边形MEND为正方形，需要先证明MD=ND=NE=ME，∠MDN=90°。 根据前面的结论：MD= ME ，ND=NE，需要先证明MD=ND。 根据直角三角形的性质，证明MD=ND，需要先证明AF=BC。 根据全等三角形的性质，证明AF=BC，需要先证明△AFD≌△BCD。 3、根据题目中的条件推断可以得到哪些结论 条件：BD是△ABC的高，可以得到△AFD、△BCD为直角三角形。 条件：点M，N分别是AF，BC的中点，可以得到DN是△BCD的中线，DM是△AFD的中线。 根据直角三角形的性质，可以得到DM=1/2AF，DN=1/2BC 条件：BD是△ABC的高，可以得到△ABD、△CFD为直角三角形。 条件：∠EBD=∠DCE=45°，可以得到△ABD、△CFD为等腰直角三角形，即AD=BD，DF=DC。 根据全等三角形的判定，可以得到△AFD≌△BCD。 具体的证明过程： 连接ME、MD、DN、NE ∵CE、BD是△ABC的高 ∴CE⊥AB，BD⊥AC ∵点M，N分别是AF，BC的中点 ∴BN=CN，AM=FM ∴EN=DN=1/2BC，ME=MD=1/2AF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在△MEN和△MDN中 ∵EN=DN，ME=MD，MN=MN ∴△MEN≌△MDN（SSS） ∴∠EMN=∠DMN ∵ME=MD ∴MN垂直平分DE（等腰三角形三线合一的性质） ∵BD⊥AC，∠EBD=∠DCE=45° ∴△ABD、△CFD为等腰直角三角形 ∴AD=BD，DF=CD 在△AFD、△BCD中 ∵∠ADF=∠BDC=90°，AD=BD，DF=CD ∴△AFD≌△BCD（SAS） ∴AF=BC，∠FAD=∠CBD ∵DM=1/2AF，DN=1/2BC ∴DM=DN ∵ME=DM，NE=ND ∴ME=DM=NE=ND ∴四边形MEND为菱形（四边相等的四边形为菱形） ∵BN=DN ∴∠BDN=∠NBD ∴∠BDN=∠FAD ∵MD=MF ∴∠AFD=∠MDF ∵∠AFD ∠FAD=90° ∴∠MDF ∠BDN=90° ∴∠MDN=90° ∴四边形MEND为正方形（有一个角为直角的菱形为正方形） 总之，几何证明题的解题方法就是分别从题目中的条件和需要证明的结论出发，进行正向推理和反向推理，并在此基础上整理出完整的解题思路，就能把证明题完美解决，大幅提升数学成绩。 |
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