正态分布的神秘面纱下到底隐藏了什么？

正态分布又被称为高斯分布，在自然、工程、物理、数学、统计、生物、医学、金融等众多学术领域都起着极其关键作用，是开展学术研究的重要基础。更为神奇的是，正态分布在自然界中无处不在，能够让人们在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。正所谓：

神说，要有正态分布，就有了正态分布。 

神看正态分布是好的，就让随机误差服从了正态分布。

那么，什么是正态分布呢？今天我们就来聊聊正态分布的特点和性质，一起来揭开正态分布的神秘面纱。

正态分布的特点

许多变量的分布都是正态分布，比如体重、身高、IQ测试。

正态分布是单峰的，在其单峰的两侧是对称的，它的中位数、均值与众数相同。由于该分布延伸的形状像一个钟形，我们称之为“钟形”分布。

正态分布的四大条件
（如果一个数据集满足以下四个标准，那么它就接近于正态分布）

1. 大多数数值集中于均值附近，使分布有一个良好的单峰；

2. 数值均匀地分布在均值周围，使分布对称；

3. 与均值的离差越大，出现的概率就越小，形成逐渐减小的尾部；

4. 该变量的取值是由多种不同的因素共同作用造成的，如遗传和环境因素。

注意： 统计学上有专门的方法来检验变量是否满足正态分布，扫描二维码，课程第七章有详细讲解。

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正态分布的基本性质

均值：决定图形的左右移动，反映的是数据的中心位置；如下动图展示了切换均值时，正态分布图形的移动，可发现图形只会左右移动。

标准差/方差：决定图形的高矮胖瘦，反映的是数据内部的变异程度。下面的动图展示了切换标准差的数值时，正态分布形状的变化，可发现图形的高矮会变化。

正态分布的3σ原则（68-95-99.7规则）

1.  大约68% （更精确的是68.3%）或者大概2/3的数值落在距均值1个标准差的区间内。

2.  大约95% （更精确的是95.4% ）的数值落在距均值2个标准差的区间内。

3.  大约99.7%的数值落在距均值3个标准差的区间内。

4.  在统计学中使用更多的是1.96倍标准差和2.58倍标注差。即95%的数值落在距均值1.96个标准差的区间内； 99%的数值落在距均值2.58个标准差的区间内；

下面的动图展示了3σ原则

注： 上面的三个动图是使用 Excel 绘制的，如何用Excel绘制带控件的正态分布图像呢？可扫描下方二维码，在课程的第53节查看详细视频讲解。

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直方图与概率密度图

直方图表示的是不同区间的数值的频数，其纵轴显示的是不同区间的数值的绝对数量；其每个柱子的高度表示的是该区间的数值的频数。

概率密度图表示的不同区间的数值的频率，其纵轴显示的是不同区间的数值的相对频率；概率密度图中整个曲线与坐标轴围成的面积为1，曲线上单个点的取值无现实意义，通常可以画出如图所示的区间，区间的面积就表示了对应的横轴取值区间出现的频率。这个频率和直方图中对应区间的频数是相互对应的。

两者都可以用来观察一组数据的分布形态，经常用于初步判断一组数据是否满足正态分布。

Excel可以直接输出直方图，但无法直接绘制概率密度图，使用R语言可以非常轻松的绘制得到一组数据的概率密度图。