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直播主题是「上帝掷骰子吗？」，演讲人是北师大教授吴金闪老师。 实际上，与其说吴金闪老师为我们带来一场科普讲座，不如说是在学友们中燃起一场「烧脑大战」。 迭代映射、逻辑斯蒂曲线，洛伦兹方程......吴金闪老师在讲座前半段对混沌理论进行了严谨细致的阐述。 尽管大多数学友们听得大呼「要回去学数学」，但是在讲座后半段，尤其是和主持人的问答对话中，吴金闪老师从混沌理论出发，让学友们了解到科学发展的历程，懂得应该如何认识生活中的数学现象。 看完下面的直播回顾，学友们应该能体会到吴金闪老师富有个人魅力的讲课方法。 ▲吴金闪老师在直播间 我们身处在一个混沌的世界中。 在牛顿经典力学的框架下，世界是线性的，确定的。到了20世纪初，量子力学对此提出了质疑，在量子世界中，我们无法完全确定物质的状态。而在1960年代，美国数学与气象学家爱德华·罗伦茨（Edward N. Lorenz）等人关于混沌理论的研究，更是带领我们走入一个布满迷雾的世界。 和引发牛顿思考的苹果一样，一个微小事物的变化给世界带来了几个世纪的巨变。不过这次的变化，来自南美的一只蝴蝶。 我们在日常生活中所熟知的「蝴蝶效应」，可能并不是刻意放大偶然因素的心理作用，其背后也有相关的科学解释。 01. 「气似质具而未相离」 吴金闪老师在直播中，首先对两种随机性进行了区分。以掷硬币为例，它既可以被看做是一个随机的过程，也可以视作是确定的，关键在于抛掷过程中各处状态值是否可知。 我们知道，硬币一旦被抛掷，它在降落过程中所受的环境影响是随时变化的，我们很难把它每个时间的状态用一个确定的方程或函数描述出来，因此，掷硬币更像是一个随机的过程。 吴金闪老师抛出这个问题之后，选择回避了对此深入探讨。他试图向我们揭示的是，一个完全确定的系统，也就是可以用函数和方程描述的系统，是否也会展现出随机性？ 完全确定性系统最基本的定义是，知道一个方程以及初始值，可以完全推导出来下一时刻的值，这样的系统怎么会出现随机行为呢？ 这并不是一个矛盾的问题，吴金闪老师解释说这种「随机性」是看似的随机性，因为它每一时刻的值依然可以在数学上进行严格的描述。 不过，如果这个系统对初值和误差非常敏感的话，就算是完全确定的系统，也会出现看上去让人无法揣测的随机行为。 这就是混沌（chaos），它不是混乱（disorder），和复杂（complexity）也有区别。《易乾凿度》中说：「气似质具而未相离，谓之混沌」。混沌指的是某个时刻状态的轻微变化在刚开始可能只有一点影响，但随着后面过程的发生，这种变化被不断放大，导致结果和预期值完全不同的现象。至于这种变化会不会被放大，要看系统本身对初值和误差是否敏感。 ▲由两个不同的映射构成的混沌映射中，因为对初始值极其敏感，随着时间的推移，一个微小的初始误差被明显地放大。图片来源：wikipedia 对此，吴金闪老师举了一个很浅显的例子：0.99999无论做多少次乘方运算，其结果还是趋近于0，而1.00001的乘方运算是趋近于无穷大的。从另一个角度来说，乘方运算就是一个线性系统，所以它的结果也很好预测，看初值的绝对值是否大于1，结果要么走向0，要么走向无穷大。 因此，吴金闪老师定义了一个完全确定系统中表现出的随机性：两个相似的初始值，无论操作和测量如何精确，其结果也可能是完全不一样的。 接着，吴金闪老师从稳定性上再次定义了混沌。在一个稳定的系统中，如果两个值一开始就很相似，那么会随着时间发生同样的变化，最终的结果也是差不多的。即使在中间过程，它们的差距有变大或变小，只要不是趋向于无穷大，从整体来看还是保持差不多，都算是稳定系统。 而不稳定的系统，也就是完全的毫无规律的系统，时时刻刻都会出现突变和误差，导致结果也必然发生剧变。吴金闪老师认为，混沌状态是处于稳定和不稳定的中间状态，它的结果只是对初始值很敏感，而并不是和初始值无关。可以说，混沌就是「确定性的混乱」。吴金闪老师说： 「（混沌状态）既整体是稳定的，不会跑到无穷远去，可是从任何一个时间点来说又是不稳定的，相互之间的距离会被放大。」 ▲洛伦茨吸引子，它不会形成周期循环，也不会达到稳定状态 。©paulbourke.net 混沌系统在本质上是一个非线性系统，描述混沌系统的方程也是非线性方程，但并不是所有的非线性方程都会有类似的混沌现象。混沌是特殊又普遍的，可以说，混沌就是在没有周期的变化中依然保持着秩序。其实，我们的生命系统，就存在这样的混沌系统。 02. 生命系统的混沌性 尽管吴金闪老师在演讲的前半段提出了很多纯数学的概念，让很多听直播的学友们感觉很头疼。但吴老师指出，数学概念和模型并不是赘述，而是为了后面更好地描述现实。他用肺的结构和血液交换作为例子，为我们讲述了混沌在现实中的表现。 我们知道，世界是分多维的，三维体的表面是二维的，二维面的边界是一维的。一个平面通常被视为二维，但是对于不规则的分子结构表面、肺的结构和血管形状，甚至海岸线或地貌，情况却并非如此。 举个例子，以人的角度看平坦的马路，这就是一个二维的平面，但以马路中间的一只蚂蚁看马路，却是三维的空间。当一个点在一条直线上旋转前进时，远处的人看到这个点只在一维的直线上前后运动，而近处的人会看到这个点的三维立体式运动。 ▲蚂蚁和我们对马路的认知并不相同 ©Yefymets 也就是说，维数并不是严格以整数划分，现实世界中很多结构具有分形维数。吴金闪老师解释说，人体的肺就是这样一个三维的立体，它的表面布满孔状结构，也就是肺泡。多孔结构使得肺的二维表面变为三维的空间，增加了表面积，从而得以进行充分的氧气交换。 也就是说，肺的表面并不是一个完全的二维面，为了使这个面得以充分地利用，就要把它向三维体发展。即使不能真正变成三维的结构，也可以通过发展使它接近三维。 在《混沌与秩序》中，化学家弗里德里希·克拉默（Friedrich Cramer）也指出，对整数维的偏离是内在混沌的一种量度。细胞间的接触也是一种混沌现象，它的维度大致是2.2，也许甚至达到2.5。 ▲《混沌与秩序》 副标题：生物系统的复杂结构 作者：[德] 弗里德里希·克拉默 译者：柯志阳 / 吴彤 出版社：上海科技教育出版社 出版时间：2010年 细胞的分叉结构也是如此，它是一种分形维数结构，目的是增加细胞间废料传递和养分交换的效率。吴金闪老师指出，一旦细胞中出现肿瘤，肿瘤细胞附近的血管会产生定性的变化，出现新的分形维数。因为肿瘤繁殖速度快，需要吸收大量的氧气和养料，所以要依赖于完全不同的血管的结构。 ▲血管的分叉结构 ©Asian Scientist Magazine 除了肺的结构和血液交换，我们不难想象，人体最神秘的部位，大脑应该包含了更加丰富的混沌因素。大脑皮层夸张的脑回皱褶，分布着100-200亿个神经元，各分区的分工和合作达到了很高程度的配合，并在复杂的连接中维持着基本的秩序。 混沌是一种远离平衡态的状态，它和生命活动有着紧密的关联，正如比利时化学家普利高津（Prigogine）所说： 「物质在平衡态是迟钝的。离平衡态越远，物质就越有智慧。」 03. 分形之美 混沌现象和分形几何可以说是形影不离。吴金闪老师在讲述分形的时候，特别谈到了自己的美学体会。自然中的雪花、海岸线、闪电等都具有分形几何结构，也能带给人以美感。 分形几何结构最大的特征就是自相似性。一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，因此具有自相似的性质。 ▲利希滕贝格图样是一种分形几何，闪电是一种自然发生的三维利希滕贝格图样。©Postdlf 吴金闪老师解释说，自相似并不是完全相同，不是「平庸的像」，而是带有复杂图案（pattern）的相像。也就是说，局部放大以后，其仍具有复杂的结构，并且和整体相似。 比如海岸线，由于海水的腐蚀，每一道弯曲的折线内部还是弯曲的折线，因此可以说，全世界的海岸线是无穷长的，我们无法准确度量它的长度。在数学模型中描述海岸线的科克曲线，就是一种分形几何。 ▲一个具有复杂结构的科克曲线 ©ecademy.agnesscott.edu 自相似并不是完全相同，分形之所以具有美学感染力，是因为美并不意味着完全的和谐，也不是完美。确切的说，美产生于有序和混乱的边界，而这也正是混沌的领域，在越接近混沌边缘的地方，美的感受就越真切。正如美国化学家霍夫曼说： 「让我们有美学体会的不止是秩序或者非秩序的某一方面，美是产生于秩序和非秩序以及简单和复杂间的紧张关系。」 吴金闪老师强调，理解一个科学理论，首先要理解科学家为什么关心该理论，以及该理论所要表达的意图。在吴金闪老师看来，科学不仅和数学、自然有关，还和给人的体会密切相关。作为数学概念的分形几何之所以是美的，是因为它可以描述自然，而自然中的很多东西也都是非常漂亮的。 |
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