经典再现14——顶角为20°的等腰三角形

已知等腰三角形ΔABC中，AB=AC=b，BC=a，∠A=20°，求证：a^³+b^³=3ab^².

分析：欲证a^³+b^³=3ab^²，就是寻找a、b之间的关系式。因此，设法找出或构造特殊的三角形或相似三角形。由已知，等腰三角形顶角20°，所以底角为80°，因为80°减去20°等于特殊角60°，因此，把底角∠ABC分为一个20°和一个60°角，经尝试，作∠CBD=20°较好。

证明：作∠CBD=20°，BD交AC于D（如图）.

因为AB=AC，∠A=20°，

所以∠ABC=∠C=80°，

所以∠ABD=60°，∠BDC=80°，

所以∠BDC=∠B=80°，

所以BD=BC=a，ΔBCD∽ΔABC，

所以BC/AB=CD/BC。

即a/b=CD/a，

所以CD=a^²/b。

在ΔABD中，

AD=AC-CD=b-a^²/b=(b^²-a^²)/b，

∠ABD=60°，AB=b，

由余弦定理，得

AD^²=AB^²+BD^²-2AB·BD·cos∠ABD，

即[(b^²-a^²)/b]^²=b^²+a^²-2ba·cos60°，

去括号、去分母，得

b^⁴-2a^²b^²+a^⁴=b^⁴+a^²b^²-ab^³，

整理，得

a^⁴+ab^³=3a^²b^²，

两边除以a，得

a^³+b^³=3ab^².