七年级下数学培优2：特殊图形中全等三角形探究 学有余力学生学习

三角形的全等是初中几何中重要的知识点，也是解决后续数学问题的个重要手段。通过证明三角形的全等，可以证明边相等和角相等，进而证明几何图形的其他结论。

这个知识在七年级下册主要运用于三角形中，本篇内容将知识作为拓展和延伸，将至应用在矩形、正方形中，让学生更全面的理解三角形全等的重要性，并渗透数学中重要的转化的思想。本篇内容较课本难度深，题目活，适合学有余力的同学进行学习。

一、基础知识

1、能够完全重合的图形叫做全等图形，全等图形的对应角相等、对应边相等．如果相等的角同时又是同位角或内错角时，可以利用平行线的判定证明两条直线的平行，因此全等图形是几何图形探究的基础，三角形的全等与许多特殊图形有着密切的联系，如等腰三角形、等边（正）三角形、正方形等图形中存在着全等三角形，本节课主要学习特殊图形中全等三角形的探究．

• 等腰三角形、正三角形图形中全等三角形的探究．
• 正方形图形中全等三角形的探究．

2、等腰三角形的性质：

如图1，在△ABC中，AB=AC，则∠ABC=∠ACB；

如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

则BD=CD，∠ABC=∠ACB；

3、等腰三角形的判定：

如图1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，则AB=AC；

4、等边（正）三角形的性质：

如图3，在△ABC中，若AB=BC=CA， 则∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；

5、等边（正）三角形的判定：

如图3，在△ABC中，若∠ABC=∠ACB=∠BAC，则AB=BC=CA；

如图3，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=60°，则AB=BC=CA；

如图3，在△ABC中，若AB=AC，∠ABC=60°，则AB=BC=CA；

6、等腰直角三角形性质：

如图4，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，则∠ABC=∠ACB=45°；

如图5，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，

则BD=CD=AD，∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD=45°；

7、长方形（矩形）的简单性质：

如图6，在长方形ABCD中，

则 AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB= 90°，

8、正方形的简单性质：

如图7，在正方形ABCD中，

则AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB= 90°，

OA=OB=OC=OD，∠CAB=∠CAD=∠ACB=∠ACD=45°，

∠BDA=∠BDC=∠DBA=∠DBC=45°，

二、典型例题分析

（一）、等边（正）三角形与全等三角形

• 【例1】已知：如图，在正△ABC中，点D在BC上，点E在CA上，且BD=CE，连结AD、BE交于点F，过点E作EG⊥AD于G，

①求证：△ABD≌△BCE；

②求证：∠FEG= 30°；

【点拨】对于①应用“分析法”：要证明△ABD≌△BCE，观察△ABD和△BCE以及正△ABC和BD=CE的条件，能否证出？

对于②应用“分析法”，要求证∠FEG= 30°，观察∠FEG所在三角形是怎样的特殊三角形？只要求出∠EFG即可，能否应用全等三角形的性质以及正三角形的条件求出？如何求出？

【解答】

【反思与小结】正三角形的边都相等，角都相等。要证明三角形全等：当有一个相等的角时，思考夹这个角的两边应用“边、角、边”证明全等或者思考应用“角、边、角”以及“角、角、边”证明全等；如果存在一条相等的边，则思考应用“夹这条边的两个角”是否相等？通过“边、角、边”以及“角、角、边”、“角、边、角”来证明全等。本例是利用“正三角形”的性质利用“边、角、边”来证明全等三角形。

• 【例2】D为线段BC上的任意一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作正△ABD和正△CDE，连结BE、AC，BE交AD于F，BE交AC于H，DE、AC交于点G，

①求证：△BDE≌△ADC；

②求证：△BDF≌△ADG；

③求证：△CGD≌△EFD；

④求证：正△DFG；

【点拨】对于①观察△BDE和△ADC以及正△ABD和正△CDE的条件，得出两条边对应相等，能否证明两相等边的夹角相等？如何证明？对于②观察△BDF和△ADG，是否有特殊角对应相等？能否找到相等的边？对于③，由②中全等能否得出△CFG是等腰三角形？△CFG是否有特殊角度？

【解答】

【反思与小结】对于含两个“正三角形”图形中证明全等的问题，一般寻找这两个正三角形的边组成的三角形，利用“边、角、边”来判定三角形的全等。本例正是应用含两个“正三角形”图形证明全的等的问题。

• 【例3】如图，在△ABC中，以AB、BC、AC为边向BC的同侧作正△ABD、正△BCE、正△ACF，连结DE、EF，

①证明：△DBE≌△ABC≌△FEC；

②判断DE、AF的数量关系？DE、AF的位置关系？

③判断AD、EF的数量关系？AD、EF的位置关系？

【点拨】观察根据正△ABD、正△BCE、正△ACF的条件，能否证明相等的边的夹角相等？

对于DE、AF的关系，作出平行的猜想，能否利用全等三角形的性质证明一对同旁内角互补？

对于AD、EF的关系同理作出．

【解答】

• 【举一反三】正△ABC中，D在CB的延长线上，以AD为边作正△ABC，连结CE，

①求证：△ADB≌△AEC；

②求证：AB∥CE；

【解答】

（二）、等腰直角三角形与全等三角形

• 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，

且DE⊥DF，连结EF，

①求证：△ADB≌△ADC；

②求证：△BDE≌△ADF；△ADE≌△CDF；

③判断△DEF的形状；

④探究、、之间的数量关系？

【点拨】对于①，观察△ADB和△ADC存在公共边，

根据已知条件，容易得出结论；对于②观察图中的特殊角以及①的结论；

对于③，由②中全等三角形的性质证得．

对于④，利用①、②中的全等，容易求出和证明；

【解答】

【反思与小结】对于两条直线的相等问题，一种是将这两条线段转化成一个三角形的两条边，通过证明同一个三角形两个角相等达到证明线段相等的目的；另一种是证明两条线段所在三角形全等，利用全等的性

• 【举一反三】在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，点D在BC上，AD=AE，AD⊥AE，

①求证：△BAD≌△CAE；

②判断EC与BC的位置关系？

【解答】

（三）、正方形、长方形与全等三角形

• 【例5】在长方形ABCD中，分别以AB、AD为边作正△ABE和正△ADF，

①求证：△AEF≌△EBC≌△CDF，

②判断△CEF的形状；

【点拨】观察△AEF、△EBC、△CDF的相等的边和相等边的夹角

能否证明其相等？由全等容易判定△CEF的形状．

【反思与小结】对于正三角形、正方形、长方形的对边相等、各角相等，因此在这些正多边形组成图中存在一些全等的三角形，而这些全等的三角形大都应用“边、角、边”的判定全等三角形。本例就是以长方形和正三角形组成的图中证明全等。

• 【例6】在正方形ABCD中，点E在BC上，连结AE，

作正方形AEFG，连结DG，过点F作FH⊥CD于H，

①求证：△BAE≌△DAG；

②求证：∠ADG+∠ADC =180°；

③求证：△ADG≌△GHF；

④判断△CFH的形状；

【点拨】对于①观察△BAE和△DAG与已知条件，能否应用

“边、角、边”证明全等？

对于②，通过全等能否求出∠ADG？

由正方形条件能否求出∠ADC ？

对于③中较多直角，能否利用互余关系找到三角形全等需要的角？

根据正方形的边相等证明全等三角形；

对于④作出猜想利用全等三角形和正方形的性质进行证明；

【解答】

【反思与小结】本例是以正方形为基本图形，利用正方形的性质证明全等三角形。

三、总结与积累

本讲主要学习了在等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形与全等三角形综合证明。主要是应用正多边形的性质以及全等的条件证明全等三角形，初步体会数学知识之间的内在联系。渗透转化的数学思想，体会将题目由繁到简，从复杂图形中抽象出基本图形。