第88题 抓住构图特点，用相似、三角函数、勾股定理，搞定线段长

88. 如图，在△MNO中，∠O=90°，点P，Q分别在OM，MN上，NP平分∠MNO，PQ⊥MN，MQ=6，cosM＝3/5.

求：（1）PQ，PO的长；

（2）tan∠PNO的值.

分析

（1）利用OP=PQ，将已知和所求，集中到Rt△PMQ中，求解；

（2）在Rt△MNO中，利用cosM＝3/5，OM=MP+PO，先求出PN，NO，

再在Rt△PNO中，求解。

实际操作

（1）在Rt△PMQ中，cos M＝3/5=QM：MP，且MQ=6，

解得MP=10，由勾股定理得PQ=8，

NP是角平分线，所以PO=PQ=8

（2）Rt△MNO中，OM= MP+PO =18，cosM＝3/5=OM：MN，

解得MN=30，tanM=PQ:QM=NO:MO

所以8:6=NO:18，解得NO=24

在Rt△PNO中，tan∠PNO=PO:NO=8：24=1/3

综述

1.本题的构图特点：Rt△MNO被角平分线NP，垂线段PQ，分成三个直角三角形，其中有两个全等，还有一个与原三角形相似。

2.抓住构图的特点，先将已知和未知集中到一个三角形中，利用相似或三角函数或勾股定理

解决。