数学史上三次危机

        对于数学仅限于学校里学的那点东西，薄如蝉翼，谈不上什么深刻理解，但也听说过数学史上有三次危机。限于老郭水平不高，能力有限无法深入，蜻蜓点水的说一下。

第一次数学危机-无理数的发现

勾股定理是咱们小伙伴们都熟悉的，a^2+b^2=c^2。这个公式出来之后就用到了已知两条边长求解直角三角形第三条边的边长问题上。很明显，开平方之后会出现根号2、根号3这种情况，这种不能完全开平方的数是无限不循环的小数，我们现在叫做无理数。

我们现在理解这些数当然是没问题的，不过在当时，这种数的出现，打破了毕达哥拉斯学派认为的世界的和谐性质。他们认为宇宙万物都可以归结为整数或者是整数之比。这就导致了一种认识上的“危机”，这个危机被称为第一次数学危机。

其实，这次“危机”（我并不认为这是什么危机）给几何的发展带来了一次推动。因为，出现了无理数意味着，人类依靠直觉和经验建立的科学不一定是可靠的，而严格的推理证明才是靠得住的。从那以后，希腊人开始重视演绎推理，并且建立了几何公理体系。这就是危难之中的机遇，古希腊人抓住了这个机遇，创造了平面几何的第一次辉煌。

第二次数学危机-阿基里斯追不上乌龟

“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个数学悖论故事是很有名的，其实我们现在的小伙伴都能知道，这是不可能发生的事，只要求一个极限，这个事就搞定了，跟本不存在追不上乌龟的事情。然而在17世纪，微积分刚刚诞生那个时代，这个事还真是个大事。

当时包括牛顿、莱布尼茨等等大佬都没有找到解决这个问题的办法。当时微积分刚刚初创，逻辑基础非常的不牢固。很多基础问题，无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

那时候，这个问题争论的焦点就在于无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

同第一次数学危机一样，危机带来的不是数学大厦的坍塌，而是数学家们再次巩固了数学大厦的基础。从数学家波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，历经50余年，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

第三次数学危机—我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子

好吧，对于集合论老郭也是学了点最最入门的皮毛，说不太清楚。1903年，罗素找到了集合的一个漏洞，并打了一个有趣的比喻说，我给且仅给自己不刮胡子的人刮胡子。也就是说你自己给自己刮胡子那么我就不给你刮胡子，如果你不给你自己刮胡子我就给你刮胡子。那么罗素应不应该给自己刮胡子呢？

就这么一个小小的刮胡子的比喻要了集合论的创立者康托尔老命，最终死在了自己工作的哈佛大学精神病院里面。由此看出，要是谁没点精神问题，还都不好意思说自己是数学家。

虽然说后来经过很多数学家的努力，但至今只能说是趋于完善，依旧没有人能够完美解决这个刮胡子的问题，因此被称为第三次数学危机。

总结，其实我觉得，三次数学危机的本质其实都是一个有穷和无穷的问题。

人类的经验都是建立在有穷的基础之上，属于有穷思维，而高等数学这种东西，其实就是在跟无穷打交道，所以在处理问题的时候必须要小心谨慎。另外，数学遇到了不能解决的麻烦和挫折可以认为是一种危机，但同时危机也意味着机遇和挑战，解决危机就意味着进步。所以，三次数学危机，三次推动了数学的发展。