公元前5世纪，芝诺提出了阿基里斯追龟悖论：阿基里斯是古希腊神话中跑得最快的人，假设乌龟的速度是阿基里斯奔跑速度的1/10，如果请阿基里斯和在他前方1000米处的乌龟赛跑，他仍然追不上乌龟。因为：当阿基里斯跑了1000米后，仅到达了乌龟的出发点，这时乌龟已经向前跑了100米；当阿基里斯再向前跑100米，乌龟已经在阿基里斯前方的10米处；当阿基里斯再向前跑10米，乌龟已经在阿基里斯前方的1米处……这样，阿基里斯只能逐渐接近乌龟，却不能追上它。 阿基里斯不能追上乌龟，这和常理相违背。如何解释这一悖论呢？ 有人用无穷数列求和的方法解释，并试图证明阿基里斯可以追上乌龟。推导过程看似正确，却犯了两个错误：一是在推导过程中假设了结论（阿基里斯可以追上乌龟）成立，以结论作为条件推导结论，犯了循环论证的错误；二是假设时间是可以无限分割的，而事实上在物理世界中不存在可以无限分割的事物，时间也不可以无限分割，这种无限分割的思想仅存在于数学理论中。所以，用无穷数列求和的方法不能解释阿基里斯追龟悖论。 阿基里斯追龟悖论，错就错在将时间无限分割，在将时间无限分割的情况下，阿基里斯当然追不上乌龟，此时时间停滞，世界静止了。但在现实世界中，时间是不可以无限分割的，世界也不是静止的。人们将物理世界中的时间进行划分，将时间单位划分为时、分、秒、毫秒、微秒……但不存在无限小的时间单位。 芝诺提出的二分法悖论和飞矢不动悖论，同样是犯了将物理世界中的时间概念无限分割的错误。在17世纪、18世纪的第二次数学危机期间，阿基里斯的追龟悖论、二分法悖论和飞矢不动悖论一起成为质疑微积分理论中无穷小的有力论点。 虽然芝诺悖论在第二次数学危机期间被广泛讨论，但第二次数学危机的原因是无穷小存在的合理性问题。后来经过波里扎诺、阿贝尔、柯西和戴德金等数学家的努力，逐步建立起实数体系，完善了极限理论，第二次数学危机得以解决。 （本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com） |
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