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Q：小城里的理发师放出豪言：他只为，而且一定要为，城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。那么问题来了：理发师该为自己刮胡子吗？ 如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”，他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。 聪明的你能解决这其中的矛盾吗？ A：这个问题是罗素悖论的通俗例子。同学们可以发现，要解决这个问题是很困难的：如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师就陷入了自相矛盾的境地。 就这样一个小小的理发师悖论，却让人们开始怀疑：“是不是整个数学都出现了问题？”这是当时数学家普遍的担心。罗素悖论也因为动摇了经典集合论的根基，甚至引发了第三次数学危机。 后来人们发现，悖论并不是无法解决的，想要解决悖论问题其实很简单，那就是就悖论发生之处重新制定一些规则，比如，集合论是数学重要的根基，所以为了避免罗素悖论的出现，数学家们严格定义了集合论中不能出现这样的集合，也就是说在现代的数学理论中是不允许这样矛盾的“理发师”出现的。 Q：古希腊哲学家芝诺是一个非常有意思的人，他提出了一系列看起来非常荒谬，但分析过程看起来有十分合理的结论，其中最有名的两个是： （1）阿基里斯（Achilles）是希腊神话中的勇士，体力过人，善于奔跑。如果阿基里斯与乌龟赛跑，只要让乌龟先爬一段路，阿基里斯就不可能追上。理由是：每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时，乌龟总是又往前爬了一段……这个过程无法穷尽，故而阿基里斯不可能追上乌龟。 （2）一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。 很明显这些结论都是错误的，但是你能指出推理过程又有什么错误吗？  A：这两个问题都是芝诺悖论，深刻地讨论了极限的定义。第一个说法中，把乌龟领先的路程看做c，阿基里斯每次跑的距离看做ai, 乌龟每次爬的距离为bi（0<bi<ai<c），最后跑的路程就等于a1+a2+a3+…。虽然这个式子有无穷多项，但这个求和的结果在i达到某个值的时候一定会得到和大于c+b1+b2+…。这其中推理的错误是将一个无穷级数的项数的“无穷”等价成了这个无穷级数的结果无穷。 第二个飞矢悖论亚里士多德曾经反驳过：谈论物体的运动或静止，需要依据其在某个时刻的位置与前一时刻的位置的比较而定，像芝诺这样只考虑一个时刻，是无法谈论物体的运动或静止的。亚里士多德对速度的看法跟速度的现代定义相当接近。 Q：警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯禁止他们串供，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择： 若一人认罪并作证揭发对方（“背叛”对方），而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。 若二人都保持沉默（互相“合作”），则二人同样判监半年。 若二人都互相检举（互相“背叛”），则二人同样判监5年。 用表格概述如下：  A：这是博弈论中经典的“囚徒困境“问题。两个囚徒因为害怕对方背叛自己导致自己坐十年监狱，都会选择出卖对方，最后结果是两个人都被判5年。两个囚徒想要达到都只被判半年的最有利结果，就必须互通信息保持合作。 Q：一所美国大学的法学院和商学院。新学期招生数据如下：  根据上面两个表格来看，女生在两个学院都被优先录取，即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总：  在总评中，女生的录取比率反而比男生低。请问有这样反常的结果应该如何解释呢？ A：这是统计学中著名的辛普森悖论。虽然数学计算的结果很显然，但非常违反我们的直觉：两个单独更大的东西加起来居然变小了。这个悖论就是告诉我们：统计结果不能凭直觉简单相加，不同的统计数据在最终结果所占的权重是不一样的。这个例子中虽然两个学院都是女生的录取率更高，但在招生人数更多的商学院，男生被录取的数量显著多于女生，录取率也没有显著低于女生，这影响了两个学院一起统计的最终结果。 |
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