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在三千多年前，人们就已经开始使用圆周率。但直到两百多年前，圆周率是无理数才被德国数学家兰伯特所证明。 所谓的无理数是指无法用分数表示的数，只能写作无限不循环的小数。当年，兰伯特发现，tan(x)可用如下的连分式展开表示：  然后，他证明了倘若x是非零的有理数，那么，上述表达式肯定就是一个无理数。由于tan(π/4)=1，1是有理数，所以π/4是一个无理数，由此就证明了圆周率π是一个无理数。 其他证明π是无理数的方法大都是用到微积分和反证法，下面介绍一下由美国数学家伊万·尼文（IvanM.Niven）在1947年证明π是无理数的方法。 假设π是有理数，那么，它可以由分数表示，令π=a/b，其中a和b均为整数。 定义如下的函数f(x)和F(x)：  上述两式中的n都是正整数。 根据上式可知，f(x)及其任意阶导数f^k(x)都满足f(x)=f(π-x)，并且它们都在x=0和x=π处可积。此外，f^k(0)和f^k(π)都是整数。显然，F(0)和F(π)也都是整数。 通过对F'(x)sinx-F(x)cosx进行求导可得： 由此可得下式： 由于F(0)和F(π)均为整数，所以F(0)+F(π)也是整数。当x∈(0,π)时，f(x)>0，并且sinx>0，所以f(x)sinx>0，这也意味着F(π)+F(0)>0。也就是说，f(x)sinx在[0,π]上的积分是一个正整数。 另一方面，当x∈(0,π)时，a-bx<><><>< p=''> <><><>  从上式可以看出，当n趋于无穷时，f(x)sinx趋于零，这意味着f(x)sinx在[0,π]上的积分也会趋于零，这与该积分是正整数相矛盾。因此，π≠a/b，这意味着圆周率是一个无理数，由此得证。 |
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