2019高考100题之053(不等式的证明）

    分析：

       第(1)问左侧打开是六次的，所以将右侧的4用(a³+b³)²来代替，也是六次，这样有助于化简.

      证明常用的方法有分析法、比较法和反证法，通过这道题我们再复习一下这三个方法：

       分析法：

       欲证(a+b)(a⁵+b⁵)≥4，

       由a³+b³=2得，

       只需证(a+b)(a⁵+b⁵)≥(a³+b³)²，

       即证a⁶+ab⁵+ba⁵+b⁶≥a⁶+2a³b³+b⁶，

       即证ab⁵+ba⁵≥2a³b³，

       因为ab⁵+ba⁵≥2√(a⁶b⁶)=2a³b³，

       所以原不等式成立.

       分析法倒过来写就是综合法：

       因为ab⁵+ba⁵≥2√(a⁶b⁶)=2a³b³，

       所以a⁶+ab⁵+ba⁵+b⁶≥a⁶+2a³b³+b⁶，

       所以(a+b)(a⁵+b⁵)≥(a³+b³)²，

       又因为a³+b³=2，

       所以(a+b)(a⁵+b⁵)≥4.

       第(2)问，对a+b立方应该是第一反应.

       下面用反证法的格式来写一下：
       假设a+b>2,

       则(a+b)³>8,

       所以a³+3a²b+3ab²+b³>8,

       又因为 a³+b³=2，

       所以3a²b+3ab²>6,

       所以a²b+ab²>2,

       所以a²b+ab²>a³+b³,（这样左右都是三次，利于化简）

       所以a²(b-a)+b²(a-b)>0,

       所以-(a-b)²(a+b)>0，

       因为a,b>0，

       所以得到一个错误结论，

       所以假设不成立，

       所以a+b≤2.

       如果将a+b>2变形为a>2-b，然后再三次方，会更简单，在此就不赘述了.

       这一问正常是没必要使用反证法的，我们只是通过该题回忆反证法的格式.

       今天主要是回忆综合法(由因到果)，分析法(执果索因)，反证法(正难则反)，大家不要张冠李戴了.