高中数学：指数函数例析

重点：指数函数的图象和性质。

难点：对于和时函数值变化的不同情况，分类讨论思想在指数函数中的运用。

例1、求下列函数的定义域。

（1）

（2）

解析：（1）

∴或        ∴函数的定义域为

（2）     ∴    ∴

∴函数的定义域为

例2、比较大小

（1）与

（2）与

（3）与

（4）

解析：（1）

（2）∵    ∴

（3）     ∴

（4）∵     ∴  

∵    ∴      ∴

例3、解不等式

解析：∵     ∴是R上的减函数

又∵

∴    

∴

例4、求函数的递增区间。

解析：∵在R上是减函数

      的递减区间是

∴原函数的增区间是

例5、要使在上恒成立，求a的取值范围。

解析：由题意得在上恒成立

即在上恒成立

又∵

当时值域为

∴

例6、已知，求函数的最大值与最小值。

解析：由

得

∴     ∴

令     ∴

∴

当，即时，

当，即时，

例7、已知（且）

（1）求的定义域、值域。

（2）讨论的奇偶性。

（3）讨论的单调性。

解析：（1）定义域为R

     ∵    ∴

∴     ∴    ∴值域为

（2）

∴为奇函数

（3）设，则

当时，由，得，

∴      ∴

∴当时，为R上的增函数

当时，为R上的减函数

例8、若关于x的方程有实根，求m的取值范围。

解析：设

∵      ∴

问题转化为在内有实根

设，其对称轴为

∴      ∴

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