2018年绵阳市中考数学压轴题分析

【题目】

（2018·绵阳）如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点A（√3，﹣3）和点B（3√3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=1/3S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）把A（√3，﹣3）和点B（3√3，0）代入抛物线得：

3a+√3 b=-3，27a+3√3 b=0，

解得：a=1/2，b=﹣(3√3)/2，

则抛物线解析式为y=1/2x²﹣(3√3)/2x；

备注：待定系数法。

（2）当P在直线AD上方时，

设P坐标为（x，1/2x²﹣(3√3)/2x），

则有AD=x﹣√3，PD=1/2x²﹣(3√3)/2x+3，

当△OCA∽△ADP时，OC/AD=CA/DP，

即3/(x-√3)=√3/(1/2 x²-(3√3)/2 x+3)，

整理得：3x²﹣9√3x+18=2√3x﹣6，即3x²﹣11√3x+24=0，

解得：x=(11√3±5√3)/6，即x=(8√3)/3或x=√3（舍去）

此时P（(8√3)/3，﹣4/3）；

当△OCA∽△PDA时，OC/PD=CA/AD，

即3/(1/2 x²-(3√3)/2 x+3)=√3/(x-√3)，

整理得：√3x²﹣9x+6√3=6x﹣6√3，即x²﹣5√3x+12=0，

解得：x=(5√3±3√3)/2，即x=4√3或√3（舍去），

此时P（4√3，6）；

当P在直线AD下方时，同理可得：

P的坐标为（0，0）或（(4√3)/3，﹣10/3），

综上，P的坐标为（(8√3)/3，﹣4/3）

或（4√3，6）（0，0）或（(4√3)/3，﹣10/3）；

备注：由于三角形AOC的形状是固定的，那么只要利用对应边成比例即可。∠D为直角，因此只有两种情况讨论。难度不大。

（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=√3，

根据勾股定理得：OA=2√3，

∵1/2OC·AC=1/2OA·h，

∴h=3/2，

∵S△AOC=1/3S△AOQ=(3√3)/2，

∴△AOQ边OA上的高为9/2，

过O作OM⊥OA，截取OM=9/2，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：

在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9），

过M作MH⊥x轴，

在Rt△OMH中，MH=1/2OM=9/4，OH=√3/2OM=(9√3)/4，即M（(9√3)/4，9/4），

设直线MN解析式为y=kx+9，

把M坐标代入得：9/4=(9√3)/4k+9，即k=﹣√3，即y=﹣√3x+9，

联立得：y=-√3 x+9，y=1/2 x²-(3√3)/2 x，

解得：x=3√3，y=0或x=-2√3，y=15，

即Q（3√3，0）或（﹣2√3，15），

则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=1/3S△AOQ，

此时点Q的坐标为（3√3，0）或（﹣2√3，15）．

备注：根据三角形AOC的形状大小是固定的，易得其面积。由于三角形AOQ的一条边固定，因此高也确定了，易得点Q的位置。设未知数表示出三角形AOQ的面积等于三角形AOC面积的两倍即可。

当然也可以利用相似三角形的性质，如图以O为顶点构造一个三角形为△AOC的两倍即可。