从微积分角度证明“正态分布密度函数”

本篇我们来证明一个常见的优美的积分等式，聪明你是否看出如下等式曾在哪里出现过呢？没错如下和正态分布中概率密度函数很像。但我们仅从积分学的角度来分析正面它。·证明它灵活的数学技巧，你准备好了吗？

因为e^-x^2是关于x的偶函数，所以我们明显可以想到

所以你只需要证明，学过概率论与数理统计的朋友，应该很熟悉这个式子

根据泰勒公式我们得到

所以当x不等于0时，e^>1+x,将x换成x^2或者-x^2可得，可得

所以很快得到一个等式

那么对于任意的自然数n，我们有

分别加上积分符号，得到：

所以根据广义积分的收敛你可以轻易得到：

为了让大家更好理解，我还是补充上上述等式的来源

为了求解上述不等式两边的积分值，我们首先假设x=cot(t)=1/tant中的积分变量x替换成t，cot(t)是区间（0,π/2）上关于t的连续可微函数，因为0<cot(t)<+∞，cot(π/2)=0, dcot(t)/dt=-1/sint^2,又由于1+x^2=1/sin^t,所以我们得到

同理，若x=cost, 0<t<π/2, dcost/dt=-sint, 1-x^2=sint^2,则得到

另一方面，根据变量变换

我们得到

则上面的开头得到的积分不等式就变成了

根据类似于斯特林公式可得到（如有必要会有专门文章解说）

因此

对上式进行变换x=t/2^1/2,则可得

即

这个就是数学中标准正态分布的概率密度公式。