初中数学基础知识 第四章 整式

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第四章 整式

4.1整式

考点一：整式

单项式与多项式统称为整式（注意前一章的代数式的分类，观察两者之间的关系）

注意：1.所有整式的分母中不含字母

2.所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式

考点二：单项式

1. 像-x、-ab、2πr，都是数与字母的积，这样的式子叫做单项式.单独的一个数或者一个字母也是单项式

注意：1.单项式的记忆方法“只含乘法，不含加减法”。

2.由于π是常数，所以1/π也是常数，是单项式

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，如：2x的系数是2、 -abc的系数是-1

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

考点三：多项式

1. 多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式，（2）在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。（3）在多项式中，不含字母的项叫做常数项

注意：1.多项式的每一项都包括它前面的符号

2.多项式中单项式的个数叫做多项式的项数，如3a-2a+5的项数是三，叫做3项式

2.多项式的次数：在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式经常以它的次数和项数来命名，称几次几项式；如：6xy⁴+2x²y²-3xy-4就是五次四项式

4.2整式的加减法

考点一：同类项

1. 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；如-5a和3a是同类项， -4和5也是同类项

2. 判别同类项的标准有两个：（1）所含字母相同 （2）相同字母的指数也分别相同， 两者缺一不可

3. 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关

考点二：合并同类项

把同类项的系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数保持不变

考点三：整式的加减

1. 去括号法则：

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的各项都要变号

（2）去括号是，括号前面的系数不是1，则要按分配律来计算，即要把括号外的系数乘以括号内的每一项

2. 添括号法则：

（1）所添括号前是“+”号，括号里面的各项都不变号；所添括号是“-”号，括号里面各项都要变号

3. 整式的加减运算，实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，就根据去括号法则，先去括号，再合并同类项

注意：同类项和系数的大小没有关系

4.3整式的乘除

考点一：幂的运算（重点重点重点）

（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m*aⁿ=a^m+n（m、n为整数）

（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相加，即（a^m）ⁿ=a^mn(m、n为整数)

（3）积的乘方：积的乘方，等于个因式乘方的根，即（ab）ⁿ=aⁿbⁿ（n为整数）

注意：

（4）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m/aⁿ=a^m-n（m、n为整数）

（5）零指数幂：任何不为0的数的0次幂都是等于1，即a⁰=1（a≠0）

（6）负整数指数幂：任何不等于0的数的-n（n为整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a^-n=1/aⁿ（a≠0， n为整数）

考点二：整式的乘法运算

1. 单项式乘单项式：单项式乘单项式，就是把他们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式。如：（-5a²b）*（-3a）=（-5）*（-3）（a²*a）*b=15a³b

2. 单项式乘多项式：单项式乘多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。如：m（a+b+c）=ma+mb+mc

注意：（1）单项式乘多项式的每一项时，不要漏项，因式中的多项式是几项，积就是几项

（2）计算时需要注意各项的符号

3. 多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

注意：（1）多项式乘以多项式的结果任然适多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积

（2）结果中若有同类项，则要合并，所得结果必须为最简的形式

4. 乘法公式：（非常重要，重点中的重点）

（1）平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b² 反之也成立

平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，且二项式中的两项有一项是相同的，另一项互为相反数

②右边是两项的平方差

③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式

（2）完全平方公式：（a+b）²=a²+b²+2ab 、 （a-b）²=a²+b²-2ab

完全平方公式的特点：①记忆口诀；首平方，尾平方，2倍乘积在中央

②公式中的a和b可以是单项，也可以是多项

注意：（1）完全平方公式常见的变形

a²+b²=（a+b）²-2ab=（a-b）²+2ab

（a+b）²+（a-b）²=2（a²+b²）

（a+b）²-（a-b）²=4ab

考点三：整式的除法运算

1. 单项式除以单项式：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

如：（-12a⁴b³c）/3a²b=-12/3*a^4-2*b^3-1*c=-4a²b²c

注意：（1）运算中的单项式的系数包括它前面的符号

（2）不要遗漏只在被除式中含有的字母

2. 多项式除以单项式：多项式除以多项式，就是把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加

如：（ma+mb+mc）/m=ma/m+mb/m+mc/m=a+b+c

考点四：整式的混合运算

1. 含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算

2. 整式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号

4.4因式分解

考点一：因式分解

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做这个多项式的因式分解。（这样子有可能有的同学没有办法看懂，其实可以理解为：因式分解就是把相加减的式子变成相乘）

考点二：因式分解的方法 重点重点步骤就是按下面的顺序来

1. 提公因式法：提取各项的公因式

2. 公式法：平方差公式和完全平方公式

3. 分组分解法：66.7%口诀，例：xy-x-y+1=（x-1）（y-1）（重点哦）

4. 十字相乘法：例 x²-2x-3，先把x²分成两个x，再把3分成-3和1，然后就等于（x-3）（x+1）

因式分解的一般步骤：“一提、二套、三试、四分、五查”

注意事项：（重点重点）

（1）分到不能分为止

（2）因式分解各项均只能用小括号连接

（3）因式分解每一项的首项系数为正

（4）因式分解中单项式写在多项式之前

（5）分解结果中有同类项的注意合并同类项

若首项系数是负数时，一般要把“-”提出来，使括号内的首项系数为正