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最终还是下定决心写关于集合的相关问题，这个问题关联的数学知识太多、太难，看似与我们的日常生活关系很大，却又不知从何入手……还是从基本概念入手吧！  数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言。……通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演。 狄尔曼 1.集合的概念 1.1概念 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。 在苏教版集合被定义为：一般地，一定的范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。集合中每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。 1.1.1对引言的解读 实际上在此定义之前的引言部分还有一位名人的名言（也是本文的引言），估计许多老师对此名人名言视而不见，可能对为什么在此处写此名言更是一知半解。真要说出所以然来的话，原因大概有以下几点吧！ 第一，在教材的处理特色中说：“引言说明数学的来历，提出本章的核心问题或者研究方法。” 第二，斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学”，学习数学就是学习数学语言，学习数学的过程就是数学语言不断内化、不断形成、不断运用、不断创新的过程。这个理由好像有点大、好像是个数学问题都会有这个问题，真的吗？ 第三，集合语言是现代数学的基本语言。灵活的使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用语言进行交流的能力. 第四，要求学生能针对具体问题，恰当地使用自然语言、图形语言、集合语言（数学符号语言）来表述相应的数学内容,在以后内容的学习中，应尽量使用集合语言. 第五，注意与小学、初中所学知识的联系（初高中衔接自然）. 与“集合”有联系的学生已学内容如下（仅举例，还有更多）： 日常生活中一类物体； 数——自然数、整数、正分数及其部分； 点集，如：数轴、平面直角坐标系中的点集、圆、角平分线、中垂线； 量的范围，如函数的自变量的取值范围； 方程的根； 不等式的解集…… 1.1.2对概念描述文字的提问（仅举例，实际上还可以提出一些） 第一，为什么要用“一般地”的三个字？这是概念中最难理解的三个字。不知你看完全文之后能否给出自己的合理解释。 第二，“一定范围内”说明了集合应该具有怎样的特征？这个特征说明了什么？ 第三，为什么出现了“某些”，概念在此想表达什么？ 第四，“确定的”说明集合的元素具有怎样的特征？具体问题中要注意什么？同理，“不同的”也应当作出同样的讨论与理解！ 第五，“一定范围内”与后面的“全体”指的是同一个整体吗？ 第六，这些“确定的、不同的”对象之间存在着先后（即“权力”大小、互相包含）的关系吗？ 第七，“对象”与全体之间的关系怎样？是如何表示的？你会用数学的三种语言形式来表述这个问题吗？（当然也包括上面的问题） ……  康托尔 其实集合论的创立者格奥尔格·康托尔（1845.3.3～1918.1.6，德国数学家，集合论的创始人）在1897年最初给出集合的定义是：“一个集合就是指我们觉察到的或在我们思维中的一些确定的、不同事物的总体；这些事物称为该集合的元素。”（希尔伯特对这个近代数学基石的集合论称赞说：“康托尔的集合论为我们创立了数学上最广泛、最有力的一个分支，一个没有人能把我们赶出去的天堂。”） 如果仔细推敲上述关于集合的描述，我们很容易发现它不像一个严格的数学定义；事实上每个数学概念都要依赖先于它而定义好的一些概念来定义，如果以此递推，追根溯源，必然有一批最简明最原始的概念，已经没有比它更原始的概念来定义它们，集合概念就是这种原始概念之一。这种朴素原始的集合概念，是逻辑上惹是生非的根源之一（如拙文“打碎思维局限的枷锁”中提到的欧式几何与非欧几何，简述就是古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生）。 1.1.3皮囊悖论 按照康托尔集合的概念，考虑26个英文字母组成的集合Ω，由于集合Ω不是一个英文字母，所以Ω∉Ω，即有的集合不是自己的元素，这是比较容易理解与接受的。若考虑由含25个以上的元素组成的集合为元素组成的集合Λ，例如Ω∈Λ；因为含25个以上元素的集合不止25个，所以Λ的元素个数也超过了25个，于是Λ∈Λ。即按照康托尔的观点，允许谈集合是自己的元素，即存在A∈A的现象，也有B∉B的现象，其中A,B是某些集合。由此可得到如下的悖论： 皮囊悖论：一个透明封闭的不可穿透的皮囊，里面装了一些元素，于是构成了一个集合A，按康托尔的观点，如果A∈A，则表明了这个装了固定的一些元素的皮囊又装在自己里面。 1.1.4罗素悖论与第三次数学危机  1.1.4.1罗素悖论: 设性质P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A也就是说'A={x|x∉A}'。那么问题是:A∈A是否成立?首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A∉A;其次，若A∉ A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。 罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。 理发师悖论： 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的:'本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!'来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于'不给自己刮脸的人'，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢?他又属于'给自己刮脸的人'，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论与罗素悖论是等价的:如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。 1.1.4.2第三次数学危机  从罗素悖论的表述中可以看出，字字句句都未违反康托尔朴素集合论的观点，为什么会出现自相矛盾的事呢？要害就是允许写A∈A，即谈某些集合自己是自己的元素，亦即是前面提出的“皮囊悖论”的存在。于是，第三次数学危机爆发了，从此打破了数学界一派歌舞升平的气氛。  罗素悖论犹如晴天霹雳，使数学界一片哗然，希尔伯特惊呼：“在数学这个号称可靠性与真理性的模范里，每个人所学、所教、所用的概念及结构和推理方法，竟导致不合理的结果；如果数学思考也失灵的话，那么我们到哪里去找可靠性和真理性呢？”不过好在经过某些数学家的努力，他们抛出了一套所谓公理集合论的公理系统，按他们的公理规定，禁谈A∈A，从而解除了第三次数学危机。 可笑的是，在一些教师的课堂上、课件、甚至所谓名师的教案中居然出现了判断Φ∈{Φ}是否正确之类的判断题，真是让人笑掉了大牙！ 1.1.5关于集合概念教学的小故事 一位鱼民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义。于是他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民。 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民洒下渔网一拉，许多鱼虾在网中跳动。数学家非常激动并告诉渔民：“这就是集合！” 这个故事对我的触动很大，故事的科学性与严谨性不是重点，重点是从中看到数学教师的责任是多么重要，你的精彩、有趣、易接受的讲解将是孩子理解的关键，这也是教师值得付出一生的重要课题。 2.数学家康托尔  康托尔 集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡（前苏联列宁格勒）一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。 当时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心，他在1867年的博土论文中就已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法来更为重要。的确，他原来的成就并不总是在于解决间题，他对数学的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著名的连续统假设。 1869年康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不久就升为副教授，并在1879年升为教授，他一直到去世都在哈勒大学工作。哈勒是一个小地方，而且薪金微薄。康托尔原来希望在柏林找到一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克处处（康托尔的老师）跟他为难，阻塞了他所有的道路，骂他是疯子。原因是克洛耐克对于他的集合论，特别是他的“超穷数”观点持根本否定的态度。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日他在哈勒大学附近的精神病院中去世。  因为康托尔的工作是伟大的、是先进的，自然也受到了很多有识之士的鼎力支持，声援康托尔的数学理论。如希尔伯特说：“康托尔的工作对我来说是最值得钦佩的数学理论之花”，罗素则高呼：“康托尔破译了围绕着无限的诸多难题，这可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的的工作。” 集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，康托尔在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应。但是他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。 不久之后，他承认他“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同”。可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金说：“我看到了这些事实，且严格证明它是真的，但连我自己也不敢相信他”。康托尔以一个有创新精神的大数学家的个性坚持了自己的观念，雄辩地证明无穷集合不再遵守有穷集合的很多规则吗，不能仅凭常规的直觉和经验来对待无穷集合，要靠严格的推理来行事。 有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。  希尔伯特旅馆 某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。 有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到相邻的下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。 第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。” 过一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。（因为比较繁琐，这里不详细介绍了） 希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不倒聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。（关注后续文章为您解读对角线方法） 康托尔是数学史上的奇才，他对数学的新奇思路和独特创造，丰富的想象力以及耿直的人品，是后世每一个人的榜样；康托尔的经历证明，科学之路是崎岖的，新旧思想总是同路相斗。历史证明，胜利往往属于那些敢于坚持真理敢于破旧立新的当时被围攻甚至是被辱为“疯子”的革新者。康托尔的名字永远镌刻在人类科学的丰碑之上。 注：明天继续讲述集合的表示与康托尔的——对应理论等问题，至于集合的交并补运算中因为牵扯到具体的知识、方法、策略、技巧等问题会在最后一讲专文刊出，也算是对高一新生一次免费辅导吧！欢迎到时批评指正。 |
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