希尔伯特23问：指引二十世纪数学发展的最高纲领

谈到 20 世纪数学的发展，甚至是 21 世纪数学的发展，其实都离不开希尔伯特 23 问的影响，希尔伯特 23 问可以说是指引 20 世纪数学发展的最高纲领，那么希尔伯特 23 问究竟说的是什么呢？今天就让我们来了解一下。

如果说谈到对 20 世纪数学影响最大的一位数学家，那么希尔伯特就是离不开的一位，他之所以对数学界影响深远，不仅仅是因为他的数学成就，还在于他是哥廷根数学学派的领袖，他领导的哥廷根学派缔造了 20 世纪前三十年的数学辉煌，是无数数学学者心中的摇篮，它的余威至今仍搅动着整个数学界。希尔伯特由此也被誉为数学界的“无冕之王”。

简单来说，希尔伯特就是当时数学界的武林盟主，培养了一大批武林高手，整个武林人才济济。

希尔伯特出生在前苏联加里宁格勒附近的韦劳，从小他就对数学展现了浓厚的兴趣，他甚至不顾父亲的反对，进入哥尼斯堡大学攻读数学，在这里结识了他一生的挚友闵可夫斯基 ，人生当中最难得的就是可以遇见一位与你志同道合、和你一起奋力前行的朋友，闵可夫斯基也是数学天才，他是爱因斯坦的老师，闵可夫斯基时空为广义相对论的建立提供了框架。

希尔伯特和闵可夫斯基经常一起散步，探讨数学问题，两位数学天才的交流碰撞出激烈的火花，希尔伯特几乎所有重要的成果都会提前给闵可夫斯基先审校一遍，两个人的友谊好到，闵可夫斯基看到数学大会上没有希尔伯特的演讲，失望到都不想去参加大会。

在闵可夫斯基去世前几天，希尔伯特还和闵可夫斯基说，下一次他会给出华林定理的证明，希望闵可夫斯基可以参加，闵可夫斯基去世的时候还在记挂着没有听到希尔伯特关于华林定理的证明，并且在去世之前还想再见希尔伯特一面。

希尔伯特取得的这一系列数学成就都离不开和闵可夫斯基之间的热烈交流而碰撞出来的花火，希尔伯特一生研究的数学课题非常之多，包括不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程 、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值 问题、“希尔伯特空间”等。

说到希尔伯特空间还有一个趣事，以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不知道。有一次，希尔伯特问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间 ？”（希尔伯特空间是希尔伯特对于欧几里得空间的一个推广，但是名字不是他取得，数学家一般对于一些问题的研究，名字都是后来的人帮他们取得，像希尔伯特空间就是冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。）

正是因为希尔伯特在数学上极具天赋，哥廷根学派的领袖克莱因对希尔伯特非常赞赏，认为哥廷根数学学派正需要像希尔伯特这样的人作为接班人。不得不说，克莱因看人的眼光是真准，挖人的本领一流，希尔伯特、闵可夫斯基这些都是他挖来哥廷根的，克莱因为后来希尔伯特带领哥廷根学派走向辉煌奠定了基础。

希尔伯特在领导哥廷根数学学派上，凭借着自己无与伦比的魅力吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根，光他指导的博士就有七八十人。大批青年学者涌向哥廷根，不仅从德国、欧洲，而且来自亚洲，特别是美国。据统计，1862—1934年间获外国学位的美国数学家114人，其中34人是在哥廷根获博士学位的，那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。廷根学派成为了世界数学家的摇篮和圣地，是国际数学中心。

当时全世界学数学的学生中，最响亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。

那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派，哥闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。

这个时候的哥廷根群星璀璨，熠熠生辉，大家都自由徜徉在数学的殿堂之中，任凭思想的火花碰撞。

哥廷根学派，左三希尔伯特，其他你都认识吗

希尔伯特除了为数学界培养了大批的人才，1900 年，这是19世纪的结束也是一个新的世纪的到来，而此时恰逢第二届国际数学家大会召开，当时希尔伯特已经是哥廷根学派的领袖，自然是大会主旨演讲的首选。

希尔伯特一开始在思考是否应该为纯数学辩护，纯数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。

不过后来希尔伯特改变了想法，他认为是时候在总结 19 世纪以来数学的发展的基础上，讨论一下 20 世纪数学发展的新方向，提出一些数学家应集中力量加以解决的重要问题。希尔伯特的想法得到了闵可夫斯基的热情烈支持，认为最有吸引力的题材，莫过于展望数学的未来，所以希尔伯特便选择了。

所以，希尔伯特从 1900 年 1 月开始，到 7 月份，整整花了 6 个月的时间准备讲演稿，然后又和闵可夫斯基以及著名数学家赫威茨花了 1 个月的时间修改。

1900 年 8 月，在巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演，希尔伯特在这份讲演里以其远见卓识阐述了数学发展的特点，分析了数学内部及外部因素对数学进步的作用，强调了重大数学问题乃是数学前进的指路明灯，是会下金蛋的鹅，可以源源不断产生新的问题新的方法新的理念。他坚信数学不会因正在盛行的专门化趋势而被分割成不联系的孤立分支，数学作为一个整体的生命力正在于其各个部分间联系。

他还根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出了23个问题，这23个问题统称希尔伯特问题。希尔伯特问题可以说成为了20世纪数学发展的一盏明灯，为数学的未来探索指引了一条方向。

这23个问题如下图所示，分属四大块:

第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题，第13到第1 8问题属于代数和几何问题;第1 9到第2 3问题属于数学分析。从顺序上讲，显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上，他自己的工作也正为缔造数学大厦牢固的基础而努力。从1 9世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他还是集合论最早的少数支持者之一一，把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以解释他为什么把集合论头号问题 连续统假设列为自己的第1问题。

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可以说希尔伯特问题涉及到了数学大部分重要的领域，这需要作者拥有丰富广阔的数学学识才能够够做到，可以说很少有数学家能够把问题看得如此全面透彻深邃，里面大家非常熟悉的，应该就是素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在大会上提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，而这些问题的解决对于素数研究具有重大的意义。

其中，哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1+2），而华人数学家张益唐在2013年在孪生素数猜想领域做出了突破性的贡献。

希尔伯特在讲演中提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。

为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费马大定理，即代数方程 x^n+y^n=z^n 在n大于2时是没有非零整数解的；第二个就是N体问题的特例———“三体问题”。 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。

怀尔斯和费马大定理

因为希尔伯特本人在数学界的巨大影响，希尔伯特 23 问立马成为无数数学界想要解决的目标，直至今日，希尔伯特问题依然是成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。可以说希尔伯特通过他自己的工作和提出的问题，把20世纪数学带上一条健康发展的道路。

希尔伯特的２３个问题更是一个继往开来的文献，说它继往，是它总结了１９世纪几乎所有未解决的重要问题；说它开来，是这些问题的确推动了２０世纪数学的进步。因此各数学大国，美国、俄罗斯、日本以及法国、德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状，并进一步提出新的问题，我们国家数学界在希尔伯特 23 问上也发挥了不少的贡献。

如今希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念，对数学工作者是一种巨大的鼓舞，也激励着数学家们前赴后继去探索数学未知的领域，去探寻数学未来的前沿。

大数学家外尔曾形象地评价希尔伯特和他的23问为:“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，甜蜜的笛声诱惑了众多的老鼠，跟着他一起跳进了数学的深渊。”