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关键词 单摆 钉挡摆 理论近似 周期 规律探究5 伽利略最早发现了吊灯摆动的等时性，1641年，惠更斯据此制作了一个摆钟，并将其简化为单摆模型。单摆是一根很轻的细线系着一个有质量的质点，如图。 1. 单摆的受力特点。 摆球受到重力和绳子的拉力，一方面做圆弧运动具有向心加速度，另一方面速率改变具有切向加速度。尽管摆球只受两个力，但是两个垂直的分方向合力都不为零，都有加速度，都可根据牛顿第二定律分析。 2. 单摆的速度初探。 绳子的拉力与运动方向垂直，拉力不做功，摆球系统内只有重力做功，机械能守恒。根据机械能守恒或动能定理可求摆球的速度随位置的关系。 进一步可以求出绳子的拉力 特别的，当摆球从水平位置下落到最低点时， （参见：小球荡秋千） 3. 简谐单摆的周期。 以上分析得到了速度随高度（角度或位置）的变化关系，能否得到速度随时间的关系？ 力关于位移x（在足够短的时间内，弦长和弧长相等）呈正弦变化，这是一个非线性关系，一般要利用计算机设计算法（计算物理方法，或工具软件）才能求解。 当摆角很小时（10°左右）有 对于做好的单摆是一个确定的数值。可见，对于小角度的单摆，摆球在切线方向上的合力满足回复力的要求（力的大小与位移成正比，力的方向与位移相反），此时单摆做简谐运动。 根据 弹簧振子的受力和运动特点 中的周期公式可知 通过单位（量纲）分析一下，周期的单位是s，摆长的单位是m，重力加速度g是m/s2，右边l/g是s2开平方刚好是s，结果是合理的。 相关习题1. 对于单摆做振动的回复力，下列各项认识中正确的是（ ） A. 回复力是重力和线的拉力的合力 B. 回复力是重力沿着运动圆弧切线方向的分力 C. 在平衡位置处，摆球受到的回复力为零，合力也为零 D. 在平衡位置处，摆球受到线的拉力等于重力 相关习题2.（多选）如图所示为甲、乙两单摆的振动图像，则（ ） A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝1∶2 B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝1∶4 C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1 D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4 相关习题3. 一个单摆的摆长是98.1cm，当地的重力加速度是9.81m/s2，单摆的振动周期是_______。将单摆放到月球上时，周期变为________，若在地球上调好的摆钟，放到月球上摆钟会变______（填“快或慢”）（已知月球上的重力加速度是地球上的0.16倍） 提示：秒摆的周期等于2s，摆球每经过一次平衡位置计时，半个周期计时1s。摆钟的快慢由单摆的频率决定，频率越大单位时间内计数越多，表走的越快。 4. 高考链接。 （2019·II卷·34-1）如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方3l/4的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x - t关系的是（ ）
解析：这是一个组合单摆模型，可以称作“钉挡摆”。钉子将前半周期和后半周期的运动分开，根据机械能守恒定律摆球越过钉子后将达到同样的高度，同时由经验可知摆角会变大。
由于摆角很小，可以认为小球在碰到钉子前后都做简谐运动。由单摆的周期公式
可知，摆长变为1/4，周期变为一半。即从最右端到平衡位置和平衡位置到最左端的时间之比为2:1，选项B、D错误；根据等高性作出规范的示意图（上图），容易判断摆球在右边的振幅大于左边，两者不相等，选项A正确。 进一步思考，正确选项A中右左两个振幅之比很像2:1，能证明吗？ 如图在△ABC中，
实际上，（参见：数据探究弹簧振子的运动规律）
取二阶小量近似，
由勾股定理解得（根号下忽略θ的四次方）
摆球在右侧的振幅为lθ，可见，摆球在左侧的振幅刚好为右侧的一半。考虑到左侧的摆长为右侧摆长的1/4，因此左侧摆角为右侧摆角的2倍（与经验符合）。至此，选项A的周期和振幅都得到了理解。 5. 微课要点：从单摆的受力分析开始，得到做简谐运动的条件，根据回复力常数导出单摆的周期公式。通过理论近似，不仅理解了回复力，也对2019年理综二卷第34题的正确选项给出了比较彻底的解释。 |
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