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单摆的运动规律探究

2019-07-10  花好月圆s...

关键词 单摆 钉挡摆 理论近似 周期

规律探究5 伽利略最早发现了吊灯摆动的等时性,1641年,惠更斯据此制作了一个摆钟,并将其简化为单摆模型。单摆是一根很轻的细线系着一个有质量的质点,如图。


1. 单摆的受力特点。

摆球受到重力和绳子的拉力,一方面做圆弧运动具有向心加速度,另一方面速率改变具有切向加速度。尽管摆球只受两个力,但是两个垂直的分方向合力都不为零,都有加速度,都可根据牛顿第二定律分析。


2. 单摆的速度初探。

绳子的拉力与运动方向垂直,拉力不做功,摆球系统内只有重力做功,机械能守恒。根据机械能守恒或动能定理可求摆球的速度随位置的关系。

进一步可以求出绳子的拉力

特别的,当摆球从水平位置下落到最低点时,

(参见:小球荡秋千


3. 简谐单摆的周期。

以上分析得到了速度随高度(角度或位置)的变化关系,能否得到速度随时间的关系?

力关于位移x(在足够短的时间内,弦长和弧长相等)呈正弦变化,这是一个非线性关系,一般要利用计算机设计算法(计算物理方法,或工具软件)才能求解。

当摆角很小时(10°左右)有

对于做好的单摆是一个确定的数值。可见,对于小角度的单摆,摆球在切线方向上的合力满足回复力的要求(力的大小与位移成正比,力的方向与位移相反),此时单摆做简谐运动。

根据 弹簧振子的受力和运动特点 中的周期公式可知

通过单位(量纲)分析一下,周期的单位是s,摆长的单位是m,重力加速度g是m/s2,右边l/g是s2开平方刚好是s,结果是合理的。


相关习题1. 对于单摆做振动的回复力,下列各项认识中正确的是( )

A. 回复力是重力和线的拉力的合力

B. 回复力是重力沿着运动圆弧切线方向的分力

C. 在平衡位置处,摆球受到的回复力为零,合力也为零

D. 在平衡位置处,摆球受到线的拉力等于重力

相关习题2.(多选)如图所示为甲乙两单摆的振动图像  

A若甲乙两单摆在同一地点摆动则甲乙两单摆的摆长之比ll1∶2

B若甲乙两单摆在同一地点摆动则甲乙两单摆的摆长之比ll1∶4

C若甲乙两摆摆长相同且在不同的星球上摆动则甲乙两摆所在星球的重力加速度之比gg4∶1

D若甲乙两摆摆长相同且在不同的星球上摆动则甲乙两摆所在星球的重力加速度之比gg1∶4

相关习题3. 一个单摆的摆长是98.1cm,当地的重力加速度是9.81m/s2,单摆的振动周期是_______。将单摆放到月球上时,周期变为________,若在地球上调好的摆钟,放到月球上摆钟会变______(填“快或慢”)(已知月球上的重力加速度是地球上的0.16倍)

提示:秒摆的周期等于2s,摆球每经过一次平衡位置计时,半个周期计时1s。摆钟的快慢由单摆的频率决定,频率越大单位时间内计数越多,表走的越快。


4. 高考链接。

(2019·II卷·34-1)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方3l/4的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正。下列图像中,能描述小球在开始一个周期内的x - t关系的是(    )

解析:这是一个组合单摆模型,可以称作“钉挡摆”。钉子将前半周期和后半周期的运动分开,根据机械能守恒定律摆球越过钉子后将达到同样的高度,同时由经验可知摆角会变大。

于摆角很小,可以认为小球在碰到钉子前后都做简谐运动。由单摆的周期公式

可知,摆长变为1/4,周期变为一半。即从最右端到平衡位置和平衡位置到最左端的时间之比为2:1,选项BD错误;根据等高性作出规范的示意图(上图),容易判断摆球在右边的振幅大于左边,两者不相等,选项A正确。

  进一步思考,正确选项A中右左两个振幅之比很像2:1,能证明吗?

如图在△ABC中,

实际上,(参见:数据探究弹簧振子的运动规律

取二阶小量近似,

由勾股定理解得(根号下忽略θ的四次方)

摆球在右侧的振幅为,可见,摆球在左侧的振幅刚好为右侧的一半。考虑到左侧的摆长为右侧摆长的1/4,因此左侧摆角为右侧摆角的2倍(与经验符合)。至此,选项A的周期和振幅都得到了理解。


5. 微课要点:从单摆的受力分析开始,得到做简谐运动的条件,根据回复力常数导出单摆的周期公式。通过理论近似,不仅理解了回复力,也对2019年理综二卷第34题的正确选项给出了比较彻底的解释。


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