北师大版初中数学八年级上册第六章《数据的分析》第4节

tingkezcom客服 2019-07-16

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《数据的离散程度》（第一课时）教学设计

 数学核心素养发展的基本要点

学生数学核心素养在本节课发展的基本要点主要有：科学精神中的批判质疑、勇于探究和实践创新中的问题解决等。  《课标》要求

体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。  学情分析

知识基础：学生已经初步感受了抽样调查的必要性，学习了描述数据集中趋势的统计量：平均数、众数、中位数，具有一定的统计学知识基础。

认知分析：八年级上期的学生具有一定的观察问题、分析问题的能力，能够通过观察散点图直观发现数据在离散程度上的差异，提出问题质疑，具有进行小组合作探究的经验。  学习目标

1.知识与技能：

了解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差。

2.过程与方法：

经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义；经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念。

3.情感、态度与价值观：

在探究过程中体会数学与生活的联系，感受探究的乐趣，在创新发现中获得良好的情感体验。

 重点及突出方法

重点：经历用方差刻画数据离散程度的过程，了解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差和标准差。

重点突出方法：在分析三名同学射击成绩的具体情境中，借助直观观察、计算和小组探究交流突出学习重点。  难点及突破方法

难点：抽象出刻画数据离散程度的统计量——方差。

难点突破方法：经历“极差、各个数据与平均数差的和、各个数据与平均数差的绝对值的和、各个数据与平均数差的平方的平均数”的探究过程，深刻理解刻画数据离散程度的意义和方差的概念。  学法指导

观察分析和小组合作探究  教学过程架构

 教学过程一、问题质疑

旧知再现：平均数、众数、中位数都是描述数据集中趋势的统计量。

创设情境：射击是深受青少年欢迎的体育运动。某中学射击爱好者社团甲、乙两名同学在相同条件下各射击8次，每次命中的环数如下：甲同学：6，4，8，10，4，10，5，9 乙同学：6，8， 7，9，7，5， 8，6

（1）你能从图中估计出甲、乙两同学射击的平均成绩吗？

（2）请计算甲、乙两同学射击的平均成绩，并在图中画出纵坐标等于平均成绩的直线。问题质疑：通过实际情境及其图示，让学生直观观察甲、乙两同学射击成绩的差异（离散程度不同）。因为甲、乙两同学射击成绩的平均值相同，所以得出判断：仅依靠集中趋势还难以准确刻画一组数据。

引出问题质疑：如何刻画一组数据的离散程度？

本环节设计目的：使学生回顾相关知识，为进一步进行数据分析做好铺垫；同时，通过直观观察和平均数计算，使学生产生思维碰撞：相同的平均值与不同的离散程度，产生问题质疑，激发探究热情。

效果评测：原有知识无法解决当前问题，这是学生自主探究的起点，进一步培养了学生的问题意识和勇于质疑的精神。课堂上借助地质学家李四光的话：“不怀疑不能见真理”，使学生信心百倍地走进下一环节——自主探究。二、自主探究

（1）探究1：极差

分别计算甲、乙两同学射击成绩最大值与最小值的差。甲：10-4=6，乙：9-5=4。

一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差，极差就是刻画数据离散程度的一个统计量。（2）探究2：各个数据与平均数的差的和

如果学校射击社团中丙同学也参加了测试，乙、丙两同学的射击成绩如图所示。

易知乙、丙两同学的平均成绩相等（均为7环），极差相等（均为4环），但从统计图上看，两人成绩的离散程度还是有区别的（乙同学的成绩更稳定一些）。采用什么方式来刻画这种差别呢？

经小组讨论，有同学尝试计算各个数据与平均数的差的和：

乙：（6-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（7-7）+（5-7）+（8-7）+（6-7）=0 丙：（7-7）+（6-7）+（9-7）+（5-7）+（9-7）+（5-7）+（8-7）+（7-7）=0 两组数据中各个数据与平均数的差的总和都等于0.

为什么会出现这种情况呢？差有正值，有负值，出现正负抵消的情况。

由此，同学们得出：“各个数据与平均数的差的和”不一定能够刻画数据的离散程度。 “探究2”失败！

（3）探究3：各个数据与平均数差的绝对值的和

如何避免正负抵消呢？

经过小组讨论，借助计算，有小组提出：运用“绝对值”可以避免正负抵消，因为任何实数的绝对值都是非负的。

乙：|6-7|+|8-7|+|7-7|+|9-7|+|7-7|+|5-7|+|8-7|+|6-7|=8 丙：|7-7|+|6-7|+|9-7|+|5-7|+|9-7|+|5-7|+|8-7|+|7-7|=10

乙的计算结果小于丙的计算结果，与直观观察得到的“乙同学射击成绩的离散程度小”是相符的。因此，同学们一致得出结论：“各个数据与平均数差的绝对值的和”可以刻画一组数据的离散程度，为下一个探究中推翻此结论做铺垫。（4）探究4：各个数据与平均数差的平方的平均数

这里有两组数据，A组：11,13,7,9,12,8；B组：10,13,7,13,7,10

大家来共同研究A、B两组数据的离散程度，直观观察那一组数据离散程度小一些？A组。 A、B两组数据的平均值都是10，我们来计算各个数据与平均数的差的绝对值的和： A:|11-10|+|13-10|+|7-10|+|9-10|+|12-10|+|8-10|=12 B:|10-10|+|13-10|+|7-10|+|13-10|+|7-10|+|10-10|=12

两组数据中各个数据与平均数的差的绝对值的和均为12，在这个问题中，“各个数据与平均数的差的绝对值的和”无法刻画数据的离散程度。

从而推翻了探究3的结论！

A B

探究再次陷入困境，引导学生一步步分析：为什么取绝对值？避免正负抵消。避免正负抵消的办法只有一种吗？

有小组提出采用平方的方法，即计算“各个数据与平均数差的平方的平均数”：

因为

<63

，所以A组数据更稳定，离散程度更小。从而探究出“各个数据与平均数差的平方的平均数”可以刻画一组数据的离散程度。本环节设计目的：通过具体的问题情境设计，环环相扣，步步探索，在矛盾中前进，在质疑中求真。既提升了学生勇于发现问题、提出问题的能力，又进一步培养了积极探索、敢于创新的科学精神。

效果评测：先是通过极差，然后计算各个数据与平均数差的总和，出现正负抵消，又计算各个数据与平均数差的绝对值总和，最后我们想到了平方，完美解决了问题。在经历探究方差概念的过程中，学生不仅感受了刻画数据离散程度的意义，同时学生体会了探究数学问题的一般思路。三、创新发现

请大家将我们自主探究出来的解决方案总结一下。

为了描述数据的离散程度，我们经过自主探究，找到了属于我们自己的创新发现：通过“各个数据与平均数差的平方的平均数，即方差”来刻画一组数据的离散程度。

标准差s是方差的算术平方根。