【原】七年级数学暑假复习：方程组与不等式组难题解析

（本题选自苏教版七年级下学期《暑假小小练》语文、数学英语合订本）

例题：已知三个非负实数a、b、c，它们满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，假设S=3a+b-7c的最大值为m，最小值为n，请求出mn的值。

这道题目很容易在网上查到，常见的解法是这样：

第一步，先转化成方程组，使用消元法，得到用同一个字母表示的另两个字母的值的表达式。（这句话看起来有点拗口，看具体的解题步骤可能更简单明了，如下图）比方，可以用含有字母a的表达式来表示出b、c的值；或者用含有字母b的表达式来表示出a、c的值；或者用含有字母c的表达式来表示出a、b的值，都是可以的。

第二步，根据“三个非负实数a、b、c”的条件，将上一步求得的表达式联立成不等式组，求出这个字母的取值范围，如图中的“a大于等于零，小于等于十一分之十六”的取值范围。

第三步，将S值也化简成用同一个字母表示的表达式，如图中的“S等于七分之（3a-5）”，这样把a的最小值和最大值分别带入到S的表达式，求出m、n的值，即可得出mn的值了。

不过解这个题目还有另一种思路，那就是可以先将S的值看成一个常数，将条件中给出的等式联立成三元一次方程组，利用消元法求出a、b、c的值（分别用字母S表示的表达式），然后根据“三个非负实数a、b、c”这一条件，判断出S的取值范围，确定m、n的值，从而得出mn的值。具体解题过程见上图。

通过此题，我们看到，有些难度的数学题目，所考核的数学知识不是孤立的，而是知识点的组合、交叉，数学的学习也是这样，一环套一环，学习新知识的同时，会不断用到以前的知识，就像解不等式或不等式组离不开方程、方程组的知识一样，就像此题，我们有必要简单复习一下三元一次方程组的相关知识，比如解题思路及步骤：

常见的解题思路：

基本思想是消元，基本方法是代入法和加减法，具体说就是通过“代入”或“加减”进行消元，由“三元”转化为“二元”，再转化为解一元一次方程。

具体的解题步骤：

第一步：利用代入法或加减法，消去一个未知数，联立出一个新的二元一次方程组； 

第二步：解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； 

第三步：将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程式，求出第三个未知数的值，把这三个未知数的值写在一起，大功告成。

解题时的注意事项：

1、不要迷信和照搬上面的解题步骤，要具体题目具体对待；

2、要根据方程的特点和类型，决定消元的方法以及要消去哪个未知数；

3、原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次；

4、解方程、方程组的题目，对或错不用问别人，把自己解得的结果代到方程里试一下就可以了。这也要求我们要学会检验方程。

检验的过程大概是这样的：将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左右两边的值不相等就不是原方程组的解。