高中数学解题基本方法---待定系数法

额的天 2011-10-11

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要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①利用对应系数相等列方程；

②由恒等的概念用数值代入法列方程；

③利用定义本身的属性列方程；

④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. , －2 B. －， 2 C. , 2 D. －，－2

2. 二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14

3. 在(1－x )（1＋x）的展开式中，x 的系数是_____。

A. －297 B.－252 C. 297 D. 207

4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。

5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

6. 与双曲线x －＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f (x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；

2小题：由不等式解集(－ , )，可知－、是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；

4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；

5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

6小题：设双曲线方程x －＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0

∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

代入两根得：解得：或

∴ y＝或者y＝

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。

【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。

     y     B’
                    x

A F    O’   F’ A’

           B

【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。

【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

∴ 解得：

∴ 所求椭圆方程是：＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：，更容易求出a、b的值。

【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。

一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。（89年全国高考题）

【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：

,解得，

于是对n＝1、2、3，等式1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)；

当n＝k＋1时，1·2 ＋2·3 ＋…＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝（3k ＋5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，

也就是说，等式对n＝k＋1也成立。

综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1 ＋2 ＋…＋n 、1 ＋2 ＋…＋n 求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n得S ＝1·2 ＋2·3 ＋…＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋…＋n )＋2(1 ＋2 ＋…＋n )＋(1＋2＋…＋n)＝＋2× ＋＝ (3n ＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。