二次函数讲义（四）

二次函数与一元二次方程

【学习目标】

1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；

2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；

3.学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．

【知识点梳理】

1、二次函数与一元二次方程的关系

① 二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求 x 的值的问题．

此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴的交点的个数，

它们的关系如下表：

注：

② 抛物线与直线的交点问题

抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．

我们把它延伸到求抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与 y 轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

⑴ 抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与 y 轴的交点是 ( 0，c )．

⑵ 抛物线 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 与一次函数 y = kx + b1 ( k ≠ 0 ) 的交点个数由方程组

a.当方程组有两组不同的解时 ↔ 两函数图象有两个交点；

b. 当方程组有两组相同的解时 ↔ 两函数图象只有一个交点；

c. 当方程组无解时 ↔ 两函数图象没有交点．

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程 ( 组 ) 的解的问题．

注：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者

将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

2、抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离公式

3、抛物线与不等式的关系

注：

抛物线 y = ax2 + bx + c 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，

所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集；

在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集．

不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

【典型例题】

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

【例题1】

【答案与解析】

注：

根据抛物线与 x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与 x 轴的交点个数，

推出△ 值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．

特别提醒：易忽视二次项系数 2(k+1) ≠ 0 这一隐含条件．

类型二、二次函数与一元二次方程的综合运用

【例题2】

【答案与解析】

注：

根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，

再利用判别式，讨论二次函数的图象与 x 轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于 m 的方程，

求出 m 值，得二次函数解析式，分别求出 C 点、M 点坐标，进而求出直线方程．

【例题3】如图，二次函数的图象与 x 轴交于A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，

交 y 轴于点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B、D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围；

（3）若直线与 y 轴的交点为 E，连结 AD、AE，求 △ADE 的面积．

【答案与解析】

注：

此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．