数学写作漫谈（上）

taotao_2016 2019-07-30

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本文是李文威教授 2014 年 10 月在中国科学院大学中关村教学楼做的同名报告，主要对象是数学方向的研究生。本文经作者授权，是原文节选。

一、释题

今天和各位谈的主题是“数学写作”。科技写作的教程在市面上可谓汗牛充栋，“科技写作”一词，据我所知在国外相对少用，一般称之为“学科写作”，突出的是对于不同的学科，写作相应地具有不同的特质。所谓科技写作，可以归入“科技、工程与数学”写作项下，而数学写作是后者的真子集；各个学科面貌各异，能否混为一谈？在我看来，这在研究生阶段恐怕是不合适的。

我认为多数相关书籍或讲座或多或少有些偏差，这里点出四条以资区别：

无视学科差异，具如上述。
定位不明。诸如选题和投稿这类问题，虽然和写作有自然的联系，但不宜相提并论。
大处含糊，小处生硬。讲原理时笼统带过，讲实践、讲细节时就一变而为作文批改；然而数学写作的重点并不在此。
商业性重。譬如许多出版商赞助的讲座，费尽口舌，不外是叫人投他们的期刊，购买他们的服务。

学科差异还可以从两个面向考虑。第一是对内比较，应用数学与基础数学的风格迥异。第二是对外比较。虽说数学与科技写作不同，然而理论物理学和计算机科学的学科文化和数学比较贴近，表现在写作上，同属于自由而富于弹性的一类，我们之后也会适时引用他们的看法。

关于我们的题目，还必须强调一点：数学写作≠数学的英文写作。对于后者，大家应该知道不少书籍，例如汤涛和丁玖老师的《数学之英文写作》便十分出色，但篇幅也长。倘若各位需要一本即查即用的小册子，这里推荐 Trzeciak 的 Writing Mathematical Papers in English （欧洲数学学会出版），全书仅 7、80 页左右，不外是列出各种句型，毫无废话。另有一本著名计算机科学家 Knuth 写的 Mathematical Writing，网上有全文，这是一本极有趣的小册子。关于英文写作的常用句型和字句锻炼，上述书籍都是不错的参考。

为什么说数学写作不等于数学的英文写作呢？

数学写作仅需要基本的英文能力。当然这不是说不懂英文也无妨，但相信语言对于诸位都不是大问题。举例来说，大家如读过日本数学家的文章，特别是那些常年在日本本土工作的，会发现他们尽管英文文法精准，下笔却毫无“表情”可言；我们不提倡这种文风，但要注意到这并不妨碍日本人发表高质量的工作。
过度雕饰适得其反。曹丕《典论・论文》谓“文以气为主”。精雕细琢过了度便显做作，何况雕饰时很难顾及全局。譬如有些人的论文前言请人捉刀，但证明部分只能自己写；有时见到这种文章，仿佛看到一个人化妆只化了半边脸，极不协调，还不如不化妆。我建议大家如有意在数学写作方面下工夫，应该全面精进自身的数学修养、文字修养。

话虽如此，相信未来各位发表论文还是依靠英文为主，所以以下也以英文写作为例，然而写作的基本原理是共通的。论文写作的要点不在语言关，个人认为：国人论文文句之混乱，主要源于观念混乱。

我们接着从正面考察写作方法。刘勰的《文心雕龙・知音》有这么一段话：“操千曲而后晓声，观千剑而后识器。”书里谈的是为文之道，若我们大胆地引申到数学写作上，不妨再细分为两层，一是广泛阅读，亦即“观剑”；二是亲身的写作实践，亦即“操曲”。相信各位在研究生阶段的学习中，对两方面都已经有相当充分的练习。所以对研究生专门地谈数学写作是一件颇吊诡的事情，相当于教鱼游泳。在信息通畅的今日，何以大量的阅读及写作仍不能有效提升写作水平？在此粗列出三个观点，供各位指正：

失却初心，错认根柢：一些人在圈子里消磨日久，谈起引用数量、杂志分区、影响因子以及种种学界花边新闻可谓如数家珍，而对数学工作者的本务反倒弃之如敝履，则写出低劣作品也算是求仁得仁了。
风气所染，无意求工：粗制滥造、得过且过的毛病并非数学界独有，追求完美者反倒被目为异数。各位身为未来的科研主力，应该明白工作的品质是我们追求的基本价值，绝不是拿来讨价还价的筹码。
陈规陋俗，师徒相因：榜样的力量是无穷的，包括坏榜样。种种陈规陋俗既体现在写作的模式中，其气味也不免渗入写作成品。沉闷因循被动的氛围一定程度上是师生共同营造的结果，破旧立新需要一定的胆识。

相应地，我们将从原理、细节和例子来阐述数学写作的方法，并探讨排版与报告时的一些要点。

二、原道

不妨把写作之道概括为一个中心、两个基本点。

一个中心：写作的目的是交流思想。

两个基本点：

体贴：简言之，体贴就是为读者着想，设身处地揣摩该如何写作，如此的作品自然具有一种“人情味”。
自信：写作前先自问能否道人所不能道。《文心雕龙・神思》描述作者从构思到篇成的心路历程，其中动笔前的自信近乎狂妄：“我才之多少，将与风云而并驱矣。”这种高扬的自信对写作其实大有益处。而原文接着就说当作品写成，作者的气焰随之折去大半，这其实也是写作中的自然体验。综观《文心雕龙》全书，“神思”一篇或许是文采飞扬之最，刘勰将身为文人的欣喜与挫折全部寓于篇中；尽管他谈的是诗、赋之类文体，我认为书中许多看法也适用于其它写作，包括数学。

自信至少体现于两方面，一是“气魄”，二是“责任”。何谓气魄？我们已说到写作的目的是交流思想。正常情形下，数学家有了发现，继而透过文章与同行商榷，一切顺理成章，不必言气魄而气魄自在其中。然而有些人自己研究做不好也罢，还向别人灌输失败主义；须知精神胜利法能否胜利固有疑问，精神失败法引向失败则是毫无悬念的。我在这里谈气魄的目的之一在于提醒各位，应该坚决同这种不战先降的失败主义作斗争。

何谓责任？如前所述，有人写文章只为发表，由于缺乏自信，他们从不觉得自己有何本领可授人，相应地也不负文责，于是乎率尔操觚。举例明之，在我们这一行，有很多结果乍看稀松平常，但大家不得不用。前人写文章如果漫不经心，文章就此沉入故纸堆里也罢，万一这些结果有点用呢？那么后人或者重新证明之，这种工作实在是吃力不讨好；或者后人引用，但得费心读懂并将结果翻译成合用的形式，而往后的读者还得再读原来那篇坑坑洼洼的论文。

抽象原则且说到这，下面谈谈具体的操作。

三、辨体

此所谓“体”，包括文体、风格、结构等面向。

数学写作的形态众多，略举数端，则有期刊论文、预印本、博士论文、综述、专著、教材、投影片等。划界本是为了分类方便，但人的思维却常常反过来受制于界限。其实上述类型往往是同一篇文章中的不同要素，调配比例不同罢了。譬如稍长的期刊论文既要包含新结果，又具有相当的综述性质，而专著常可兼作教材。我们重在会通，不在辨异。

相信各位在学习过程中已经体会过，读一篇好论文往往比读课本能更快进入一个研究领域的核心。这里教大家的不是怎么读文献，而是一件更伟大的事，就是怎么写出好文献让人获益。上述类型的论文之所以能优于课本，便是缘于其中成果、综述、教材三要素的调和。

随着技术的发展，数学“文体”的形态还在不断增加，例如报告视频、百科条目、博文、论坛帖子等等；作为广义的数学写作，其间原理相通。以常见的投影片而论，过去投影片在国外往往只是报告的辅助，而现在许多机构或个人将投影片放上网供人自由下载研读，于是投影片遂独立于报告本身，功能和体裁都逐渐与讲义重叠。另一方面，投影片（主要是 Beamer 和 Power Point）在中国很早就承担了课件功能，关于此法的利弊，我们最后还会讨论。

接着谈谈风格与内容的联系。

至于风格的具体例子，学识所限，我只能举基础数学为例。学代数几何或数论的都知道一位数学家叫 Jean-Pierre Serre，他的写作风格在业内被尊为典范；写数学分析的 Walter Rudin 大家应该也不陌生，两者都可以归入“精准”一类，而精准对初学者常常与“冷峻”同义。相对地，另有一位数学家叫 David A. Cox，他写过些 Galois 理论和环面簇的课本，风格属于和煦、亲切一路，但一些读者可能嫌他唠叨。这两类风格难辨优劣。希望大家在选择时能结合自身长处，并坚持与内容相联系。

一方水土养一方人，数学写作的风格也是殊方异俗。所谓的国外文章，其内部风格实则差异巨大，不可一概而论。

略举数端如下：

日本：详尽、单调
美国：流畅、张扬
英国：流畅、节制
德国：精准、节制
法国：精准、明快

这些形容词都出于本人直接感受，只能请各位模糊地理解。美国风格往好处说是易读，而往坏处说就是吹牛；比如有些论文读其导言令人叹服，通篇读完便觉得不过尔尔。相较之下，我认为英国数学家的文章更怡人，其中既有风格的因素，也有语文修养的因素。德国、法国的文章总体上都偏重精确。所谓节制、明快等，倒也不尽然，我一时没有更合适的形容词。通观之，我以为欧洲风格更值得取法。至于俄国或前苏联则又自成一家，在此存而不论。

大家写作时若对文章的形制有所疑虑，一般以采取详尽、友善的风格最为稳妥，这就相当于上面所说的和煦、亲切一路。

至于文章结构，数学思维未必是直线的，不幸的是由于书面语言的限制，数学写作只能镶嵌在直线的结构里。对于稍具规模，大约 15、20 页以上的文章，比较保险的安排是：

摘要
目录
导言
符号
主干部分
参考文献
附录、索引等

如果文章少于 10 页就不必这么多仪式，直接干活即可；某些短文甚至连摘要都不必。而书籍等更长的文体还需要其它构件，这里不深入讨论。下面我们先讨论摘要、导言等辅助构件的写作要领，主干部分的写法留待稍后讨论。

关于摘要：“重在达意，精炼为宗”。摘要里应该尽量节制公式与数学的使用，而且一般不许在摘要里引用其它文章。
目录可以由 LaTeX 等软件自动生成，唯一要操心的是目录深度的设定，这里不必深究。
导言可说是一篇论文的灵魂，恐怕也是最难写的，它决定读者对文章的总体观感。我个人认为导言写作有下述要点：

标定受众的背景知识，防低估，更防高估。为何要防高估？这是中国学生的通病。各位写文章首先要有自信，就你自己这篇文章涉及的内容而言，你就是世界第一的专家，别虚张声势或畏畏缩缩；相应地，身为一位专家也必须多些耐心，多做点解释，不宜假设读者什么都懂。
铺垫精简。中国学者有个普遍习惯，劈头就强调“我做的这个问题如何如何重要……”，我本人有时也不免俗；这类铺垫必须掌握一个度。另一个问题偶见于文章，但在讲座中更普遍，就是言必称欧高黎嘉陈等等；再往大处说，是着迷于数学家的各种帽子，如院士、会士、菲尔兹奖得主等等。这都是毫无必要的。
简述渊源与精神，不必强求精确。这里谨引用一位杰出的计算机科学家、数学家兼段子手 Donald Knuth 的话，他同时也是 TeX 程序的发明者；Knuth 的 The TeXbook 这本书既是 TeX 的源码，又是它的操作手册，他在前言里这么说：“Another noteworthy characteristic of this manual is that it doesn't always tell the truth.”有些国人有某种洁癖，见到这种说法简直要跳起来—写数学怎能不精确呢？其实一些理论作为第一眼印象写得太精确反构成窒碍，甚至在一些情形下，特意写得有点错才好。我推荐大家翻翻 The TeXbook 这本书，至少读他的前言。
文献综述的重点在于摘录要旨，不在于按号点名。根本目的是让读者晓得什么人做了什么事。
导言的必要任务之一是勾勒文章结构，一般采取逐章节简介的方式。对于较长、较复杂的论文或书籍，宜图示各章节或主要结果之间的逻辑联系，使人一目了然。实践中愿意绘图的作者不多，或是因为欠缺技术？

所谓符号列表，意指在论文开头集中列出用到的符号和假设等，对读者和作者双方都有好处。制作符号列表倒不必特别的技术，不外乎花点时间、占点版面。我发觉中国人似乎在某些方面喜欢节约纸张？在制作符号列表这种事情上，大概没必要讲求环保。
制作参考文献非但要紧，而且特别费力。网上流传各式各样所谓的秘诀，其实科学院和各大高校都有购买数据库，直接下载是最省时的。如何下载呢？首先，我建议各位无论引用多少文献，都使用 BibTeX 管理并自动生成，各位在网上或相关书籍里都能找到教程。其次，对于数学论文，获取正规、完整的文献信息的渠道一是德国的 zbMATH，二是美国数学学会的 MathSciNet；两者都能汇出 BibTeX 格式，可以直接复制贴上。据个人经验，正常网速下获取一篇论文的信息耗时不超过半分钟。手工编辑一则耗时长，二则很难像 zbMATH 或 MathSciNet 那么规范；后两者出错的情形是很少的。偶尔我们也必须引用预印本或私人通信等，不得不手工录入，因此上述办法并不是万灵丹。
经常被忽略的是“索引”的角色。很多人认为书籍才需要索引，这种流行看法完全错误。我忘记在哪读过一句话：“凡是 50 页以上的文章都应该有索引。”各位不妨证诸个人体验：由于记忆的局限，阅读 50 页以上的论文时很容易顾此失彼，特别是符号部分。其实即便是近百页的长文也鲜有附索引者，这表明数学界对索引的功能虽有体认，但是期刊或审稿人普遍不作要求，论文作者也无此习惯。这里期望各位写作时要坚持对读者有益的原则，而不是随着大流浮浮沉沉。在 LaTeX 下制作索引的标准方法是使用 MakeIndex 或 xindy 这些程序；这些程序的使用文件很容易获取，用法也极简单，细讲 LaTeX 的操作恐怕岔题，这里点到为止。我个人经验是为一篇 80 页的论文制作索引，需时不过二十分钟左右，前提是自己对文章内容还有新鲜的印象；区区二十分钟工夫，对阅读体验却有巨大的影响！书籍索引实际上是一门博大精深的技艺。