和所有的数学分支类似,概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。 古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是:不充分理由原则。 1.1 不充分理由原则 雅各布·伯努利(1654-1705): 提出,如果因为无知,使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现,那么应该给予它们相同的概率。比如:
此称为 不充分理由原则(Insufficient Reason Principle)。 1.2 古典概率 以不充分理由原则为基础,经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵(1749-1827): 之手,确立了 古典概率 的定义,即: 未知的概率都为等概率 整个19世纪的人们都广泛接受这个定义,并发展出了一系列的定义和定理。 法国数学家贝特朗(也翻译为“伯特兰”)于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论: 原始的悖论比较复杂,下面我们给出一个等价的形式。 2.1 锯木厂的木头 问:有一家锯木厂,它会把木头切成不同的木方,木方的截面都是正方形,边长会在 尺之间随机浮动: 那么根据古典概率,该锯木厂生产出来的正方形边长在 尺之间的概率为多少? 解:根据不充分理由原则,因为不知道哪一种边长更容易出现,那么就应该给予它们相同的概率,也就是说 之间每一种长度都是等可能的。而 包含了一半的可能长度: 所以,正方形边长在 尺之间的概率为: 2.2 悖论的产生 刚才的问题还可以转为面积来解答, 尺边长的正方形面积为 平方尺, 尺边长的正方形面积为 平方尺: 同样,根据不充分理由原则, 平方尺之间的正方面面积是等可能的,那么正方形面积在 平方尺之间的概率为 : 选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则,同一个问题会得到了不同的概率: 那么哪个是对的? 3.1 反思 19世纪不少人相信只要找到适当的等概率,就可以得到问题的唯一解。直到贝特朗悖论出现,人们才开始反思古典概率中的不合理之处:“等概率”的描述实在是太模糊了,存在歧义。 在后来数学家的不断努力中,概率论变得越来越严谨,大学中学习的公理化的现代概率论就是集大成者。 下面用现代的概率论重新来审视贝特朗悖论,你会发现其实根本没有矛盾之处。 3.2 重解贝特朗悖论 问:有一家锯木厂,它会把木头切成不同的木方,木方的截面都是正方形,边长会在 尺之间随机浮动: 也就是说木方的边长是一个随机变量 ,符合均匀分布(均匀分布就是等概率的意思): 那么: (1)该锯木厂生产出来的正方形边长在 尺之间的概率为多少(其中 )? (2)它的面积 又符合什么分布呢? 解:(1)记 的累积分布函数为 ,其概率密度函数为 ,因为 ,所以: 那么要求的正方形边长在 尺之间的概率为: (2)假设 的累积分布函数为 ,其概率密度函数为 。先来求 : 将 对 求导就得到了概率密度函数,也就是得到了 的分布: (1)(2)两个问题回答下来,可见边长符合均匀分布时,面积并不符合均匀分布。 4 总结 贝特朗悖论产生的原因在于,古典概率中的“等概率”非常模糊:
进而导出了矛盾。现代概率论通过分布来描述边长的随机性后,这种模糊性消失了,贝特朗悖论中的矛盾也就不存在的。 同学们还可以试试假设面积符合均匀分布,试求一下边长符合什么分布。 |
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