贝特朗悖论

贝特朗悖论：在一个圆内随机取一条弦，求这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？

贝特朗悖论

贝特朗给出了如下三种不同的解法，令人意外的是三种解法给出的答案居然都是不同的！

经典解法一

让弦的一端是圆内接正三角形的一个顶点。显然，只有当弦的另一端落在此顶点对边所对应的1/3圆周上时，这条弦的长度才比圆内接正三角形的边长更大。所以所求概率为1/3。

经典解法二

作垂直于弦AB的直径MN，只有当AB和MN的交点H，也就是弦AB的中点落在直径MN中间1/2的弦PQ上时, 弦长∣AB∣才大于圆内接正三角形的边长，所以所求概率为1/2。

这里证明一下∣PQ∣=∣MN∣/2

显然，圆心O为正三角形的中心，也是正三角形的重心

MQ过重心O，则MQ为正三角形的一条中线

根据三角形重心的性质

∣MO∣=2∣OQ∣

同理，∣ON∣=2∣PO∣

∣MN∣=∣MO∣+∣ON∣

=2∣OQ∣+2∣PO∣

=2(∣OQ∣+∣PO∣)

=2∣PQ∣

所以∣PQ∣=∣MN∣/2

经典解法三

考虑弦AB的中点。只有中点落在正三角形的内切圆内时，弦长∣AB∣才大于圆内接正三角形的边长，正三角形的内切圆面积是此正三角形的外接圆面积的1/4，所以所求概率为1/4。

这里证明一下正三角形的内切圆面积是此正三角形的外接圆面积的1/4

显然，正三角形的内切圆和此正三角形的外接圆是同心圆，圆心为O，O也是正三角形的中心

内切圆的半径就是O到正三角形的边的长度

外接圆的半径就是O到正三角形的顶点的长度

根据前面提到的三角形重心的性质

内切圆半径长是外接圆半径长的1/2

所以内切圆面积是外接圆面积的(1/2)^2=1/4

对于同一个问题，我们给出了三个不同的结果：P1=1/3，P2=1/2，P3=1/4

而且这三种解法都是正确的！

这显然有悖于我们传统的认知，为什么会出现这种颠覆认知的结果呢？

其根本原因就在于题干条件中的“随机”二字！

条件要求在圆内随机取一条弦，但是对于如何“随机”取这条弦并没有明确的定义。以上三种解法采用了三种不同的“随机”取法，对应了三个不同的样本空间，从而导致了三种不同的结果。

解法一是假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω1，P1=1/3

解法二是假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω2，P2=1/2

解法三是假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3，P3=1/4

那么终极的问题来了，你认为哪一种解法才是正确的呢？或者说这个问题的准确概率是多少呢？