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任何三角形有唯一的外接圆和唯一的内切圆，但是作为一个四边形，就不一定具有外接圆或内切圆了，四边形具有外接圆，内切圆时，它自身一定会具有一定的特殊条件. 这里我们主要就谈谈四点共圆的判断问题. 命题： 1、对角互补的四边形内接于圆（如图1）； 2、四边形的一个角外角等于它的对角，这个四边形内接于圆； 3、如果两个直角三角形共有斜边，那么这两个直角三角形有相同的外接圆； 4、如果两个点在线段的同侧，且与线段两个端点连线所得的两个角相等（也叫同旁视角相等），那么这两个点与已知线段的两个端点共圆（如图2）； 5、相交的两条线段，每条线段被交点分得的两条线段的乘积相等，那么线段的四个端点在同一个圆上（如图3）； 6、如果四边形的两条边的延长线交于一点，这点到这两边的两个端点的两条线段的乘积相等，那么这个四边形是圆内接四边形（如图4）； 其实上面的命题都是圆内接四边形的性质定理的逆命题. 下面用反证法证明命题2. 已知：如图5，在四边形ABCD中，∠A+∠C=∠B+∠D=180°， 证明：设A,B,C所在的圆是以O为圆心的圆 ①假设D在圆O内，那么连接AD并延长交圆O与Dˊ，那么四边形ABCDˊ内接于圆 O，因为圆内接四边形的对角互补，所以∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在图5 中，∠D=∠Dˊ+∠DCD>∠Dˊ，这与∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不再圆内。 ②假设D在圆O外面，如图6. 设AD交圆O为Dˊ，那么根据圆内接四边形的性质，∠B+∠Dˊ=180°，所以∠Dˊ=∠D，在图6中，∠Dˊ=∠D+∠DˊCD>∠D，这与∠Dˊ=∠D矛盾，所以D不在圆O外面. 综上所述，D在由A,B,C三点所确定的圆上，可以用同样的方法证明命题4，然后命题5与命题6都能够转换成满足命题4的条件，从而证明这些结论都正确. 例1，如图7，已知H是三角形A,B,C的垂心. （1）试确定图中有多少组在同一圆上的四点，把每一组写出来 （2）试确定图中有多少组相似的直角三角形，把每一组学出来 解： （1）根据垂心的意义我们知道，以三角形ABC的边为直径的四点共圆有三组，比如A,B,D,E........ 以原三角形的顶点与垂心H的连线为直径的四点共圆也有三组，B,D,H,F......... （2）根据垂心的意义和相似三角形的判断定理，图中相似三角形有三组，每一组有四个，如△BCE～△ACD～△BHD～△AHD，........ 其实下面的两个结论显然是正确的： （3）AH·HD=BH·HE=CH·HF （4）AD·BC=BE·AC=CF·AB. 作为内接圆四边形的一条有趣的性质，作为例2. 例2，圆内接四边形两条对角线的积等于两组对边的积的和 已知：如图8，四边形ABCD内接于圆O ，AC,BD是两条对角线. 求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明：在AC上取点M，使∠ABM=∠CBD，由圆内接四边形的性质有：∠BAM=∠BDC,所以△ABM～△CBD，于是AB/BD=AM/CD，即AB·CD=BD·AM,同样的，△ABD～△CMD，所以，AD/MC=BD/BC，即AD·BC=BD·MC.所以，AC·BD=AB·CD+AD·BC. 初中教材对于四点共圆这一块涉及的不是特别深入，无论你是即将的初三同学还是高中同学或准高中同学，你对这篇小文章的关注，一定会给你带来益处. |
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