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各位朋友，大家好！“数学视窗”给大家分享一道有关圆的综合题，这道题目给出的条件比较简洁，要证明两个结论。题目的难度虽然不是很大，但是很多人看到此题后，还是无从动手，就是不会画出辅助线，所以一定要弄清所给出的条件对于解题有什么作用。此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的垂心的性质等。下面，我们就一起来看这道例题吧！ 例题：（初中数学竞赛题）如图，已知H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆．以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点为E、F，点D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点．求证： （1）AC垂直平分线段HE；（2）DE=AB． 分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：根据三角形垂心的性质可以得到∠AHC+∠ABC=180°，再由圆内接四边形的性质得到∠AEC+∠ABC=180°，通过等量代换得到∠AEC=∠AHC，于是得到AE=AH，即可得到结论； （2）由D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点，推出CD为圆O的直径，再根据圆周角定理得到DA⊥AC，由条件可以推出B、H、E三点共线，证得弧DAE＝弧ADB，根据圆的性质即可得到结论． 解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法） 证明：（1）如图，连接AH，AE，EC， ∵H为△ABC的垂心， （根据垂直以及三角形的外角知识） ∴∠AHC+∠ABC=180°， ∵A、B、C、E四点共圆， ∴∠AEC+∠ABC=180°，（圆内接四边形对角互补） ∴∠AEC=∠AHC， ∵CH=CE， ∴∠CEH=∠CHE， ∴∠AEH=∠AHE，即AE=AH， ∵CH=CE，AE=AH， ∴AC垂直平分线段HE； （2）连接CF，BH， ∵CE=CH=CF，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点， ∴CD为圆O的直径， ∴DA⊥AC， ∵H为△ABC的垂心， ∴BH⊥AC， 又∵HE⊥AC， ∴B、H、E三点共线， ∴BE⊥AC， ∴∠DCE=90°-∠CDE=90°-∠CBE=∠ACB， ∴弧DAE＝弧ADB， （等弧所对的弦相等） ∴DE=AB． （完毕） 这道题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三点共线，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的垂心的性质，圆内接四边形的性质等知识，利用三角形垂心的性质得到B、H、E三点共线是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。 |
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