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高一数学必修一第一章集合单元测试题答案 (时间：120分钟 满分：150分 命题人：周蓉) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜－2或 x＞2}， 则∁UA＝( ) A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：A＝{x|x＜－2或 x＞2}，U＝R， ∁UA＝{x|－2≤x≤2}，即∁UA＝[－2，2]． 故选 C. 答案：C 2．已知函数 y＝f(x)的对应关系如下表，函数 y＝g(x)的图象是如 下图的曲线 ABC，其中 A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则 f(g(2))的值 为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：由图象可知 g(2)＝1，由表格可知 f(1)＝2，所以 f(g(2))＝ 2. 答案：B 3．设集合 A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C ＝( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 解析：因为 A∪B＝{1，2，6}∪{2，4}＝{1，2，4，6}， 所以(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩{1，2，3，4}＝{1，2，4}． 答案：B 4．已知函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则函数 f(2x＋1)的定义域 为( ) A．(－1，1) B.－1，－1 2 C．(－1，0) D.12，1 解析：对于 f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12，即函数 f(2x＋1)的定义域为－1，－1 2 . 答案：B 5．已知 f(x)＝2x，x>0，f（x＋1），x≤0. 则 f43 ＋f －43 的值等于( ) A．－2 B．4 C．2 D．－4 解析：∵43>0，∴f 43 ＝2×4 3＝83， ∵－43<0，∴f －43 ＝f －43＋1 ＝f－13 ＝ f－13＋1 ＝f23 ＝4 3， ∴f43 ＋f －43 ＝12 3＝4. 答案：B 6．(2017·山东卷)设集合M＝{x|| x－1|＜1}，N＝{ x | x＜2}，则 M∩N＝( ) A．(－1，1) B．(－1，2) C．(0，2) D．(1，2) 解析：因为M＝{ x |0＜x＜2}，N＝{ x | x＜2}， 所以M∩N＝{ x |0＜x＜2}∩{ x | x＜2} ＝{ x |0＜x＜2}． 答案：C 7．函数 f(x)＝ 2x＋1＋x的值域是( ) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C.－12，＋∞ D．[1，＋∞) 解析：令 2x＋1＝t(t≥0)，则 x＝t2－12 ，所以 f(x)＝f(t)＝t2－12 ＋ t＝12(t2＋2t－1)，当 t∈(－1，＋∞)时，f(t)为增函数，又因为 t≥0， 所以当 t＝0时，f(t)有最小值－12，所以函数的值域为 －12，＋∞ . 答案：C 8．函数 f(x)＝ 3－x2 x的图象关于( ) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线 y＝x对称 解析：由题意知 f(x)＝ 3－x2 x的定义域为[－ 3，0)∪(0， 3]， 关于原点对称． 又 f(－x)＝ 3－x2 －x＝－f(x)， 所以 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称． 答案：B 9．已知函数 f(x)＝ax3－bx－4，其中 a，b为常数．若 f(－2)＝2， 则 f(2)的值为( ) A．－2 B．－4 C．－6 D．－10 解析：因为 f(－2)＝a(－2)3＋b·(－2)－4＝2， 所以 8a＋2b＝－6，所以 f(2)＝8a＋2b－4＝－10. 答案：D 10．已知函数 f(x)＝x2＋1，x≥2，f（x＋3），x＜2， 则 f(1)－f(3)＝( ) A．－2 B．7 C．27 D．－7 解析：f(1)＝f (1＋3)＝f (4)＝42＋1＝17， f (3)＝32＋1＝10，所以 f (1)－f (3)＝7. 答案：B 11．在整数集 中，被 5 除所得余数为 的所有整数组成一个 '类'，记为[ ]，即[ ]＝{5n＋ |n∈ }， ＝0，1，2，3，4，给出如 下四个结论： ①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数 a，b属于同一'类'，则 a－b∈[0]；④若 a－b∈[0]，则整数 a，b属于同一'类'． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由于[ ]＝{5n＋ |n∈ }，对于①，2 016除以 5等于 403余 1，所以 2 016∈[1]，所以①正确；对于②，－3＝－5＋2，被 5除余 2，所以②错误；对于③，因为 a，b是同一'类'，可设 a＝5n1＋ ， b＝5n2＋ ，则 a－b＝5(n1－n2)能被 5整除，所以 a－b∈[0]，所以③ 正确；对于④，若 a－b＝[0]，则可设 a－b＝5n，n∈ ，即 a＝5n＋b， n∈ ，不妨令 b＝5m＋ ，m∈ ， ＝0，1，2，3，4，则 a＝5n＋5m ＋ ＝5(m＋n)＋ ，m∈ ，n∈ ，所以 a，b属于同一'类'，所以 ④正确．则正确的有①③④. 答案：C 12．设数集M同时满足以下条件：①M中不含元素－1，0，1； ②若 a∈M，则1＋a1－a ∈M.则下列结论正确的是( ) A．集合M中至多有 2个元素 B．集合M中至多有 3个元素 C．集合M中有且仅有 4个元素 D．集合M中有无穷多个元素 解析：因为 a∈M，1＋a1－a ∈M，所以1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a∈M，所以 1＋ 1－a 1－ 1－a ＝a－1a＋1 ∈M，又因为1＋a－1 a＋1 1－a－1a＋1 ＝a，所以，集合M中有且仅有 4 个元 素：a，－1a，1＋a1－a ，a－1a＋1 . 答案：C 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填 在题中横线上) 13．用列举法表示集合M＝ m|10 m＋1∈Z，m∈Z ＝________． 解析：由10 m＋1∈ ，且 m∈ ，知 m＋1是 10的约数，故|m＋1| ＝1，2，5，10，从而 m的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9. 答案：{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9} 14．函数 y＝ax＋1(a＞0)在区间[1，3]上的最大值为 4，则 a＝ ________． 解析：因为 a＞0，所以函数 y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数， 所以 ymax＝3a＋1＝4，解得 a＝1. 答案：1 15．已知全集 U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}， 则 a＝________． 解析：a2－a＋1＝7，a2－a－6＝0，解得 a＝－2，a＝3，检验知 a＝－2. 答案：－2 16．若函数 f(x)满足 f(x)＋2f1x ＝3x(x≠0)，则 f(x)＝________． 解析：因为 f(x)＋2f1x ＝3x，① 所以以1x代替 x，得 f 1x ＋2f(x)＝3 x.② 由①②，得 f(x)＝2x－x(x≠0)． 答案：2x－x(x≠0) 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10分)集合 U＝R，集合 A＝{x|x2＋mx＋2＝0}， B＝{x|x2－5x＋n＝0}，A∩B≠∅，且(∁UA)∩B＝{2}，求集合 A. 解：因为(∁UA)∩B＝{2}， 所以 2∈B，2∉A， 所以 2是方程 x2－5x＋n＝0的根， 即 22－5×2＋n＝0， 所以 n＝6，所以 B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}． 由 A∩B≠∅知 3∈A，即 3是方程 x2＋mx＋2＝0的根， 所以 9＋3m＋2＝0，所以 m＝－113. 所以 A＝ x|x2－113x＋2＝0 ＝23，3 . 18．(本小题满分 12分)已知集合 A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x< －1或 x>5}．若 A∩B＝∅，求 a的取值范围． 解：若 A＝∅，则 A∩B＝∅， 此时 2a>a＋3，解得 a>3. 若 A≠∅，由 A∩B＝∅，得2a≥－1，a＋3≤5，2a≤a＋3， 解得－12≤a≤2. 综上所述，a的取值范围是a|－1 2≤a≤2或 a>3 . 19．(本小题满分 12分)设函数 f(x)对任意实数 x，y都有 f(x＋y) ＝f(x)＋f(y)，且 x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证 f(x)是奇函数； (2)求 f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值． (1)证明：令 x＝y＝0，则 f(0)＝0. 再令 y＝－x，则 f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)．故 f(x)为奇函数． (2)解：任取 x1<x2，则 x2－x1>0， 所以 f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0， 所以 f(x)为减函数． 又 f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6， 所以 f(－3)＝－f(3)＝6. 故 f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6. 20．(本小题满分 12分)已知函数 f(x＋1)＝2x＋1x＋2 . (1)求 f(2)，f(x)； (2)证明：函数 f(x)在[1，17]上为增函数； (3)试求函数 f(x)在[1，17]上的最大值和最小值． 解：(1)令 x＝1，则 f(2)＝f(1＋1)＝1. 令 t＝x＋1，则 x＝t－1， 所以 f(t)＝2t－1t＋1 ，即 f(x)＝2x－1x＋1 . (2)证明：任取 1≤x1≤x2≤17， 因为 f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1＋1 －2x2－1x2＋1 ＝3（x1－x2） （x1＋1）（x2＋1）. 又 1≤x1＜x2，所以 x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以3（x1－x2） （x1＋1）（x2＋1）＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)在[1，17]上为增函数． (3)由(2)可知函数 f(x)在[1，17]上为增函数， 所以当 x＝1时，f(x)有最小值12； 当 x＝17时，f(x)有最大值116. 21．(本小题满分 12分)某商场经销一批进价为每件 30元的商品， 在市场试销中发现，此商品的销售单价 x(元)与日销售量 y(件)之间有 如下表所示的关系： x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x， y)的对应点，并确定 y与 x的一个函数关系式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P元，根据上述关系，写出 P 关于 x的函数关系式，并指出销售单价 x为多少元时，才能获得最大 日销售利润？ 解：(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对 应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示． 设它们共线于直线 y＝ x＋b，则50k＋b＝0，45k＋b＝15， k＝－3，b＝150. 所以 y＝－3x＋150(0≤x≤50，且 x∈N )，经检验(30，60)，(40， 30)也在此直线上． 所以所求函数解析式为 y＝－3x＋150(0≤x≤50且 x∈N)． (2)依题意 P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝ －3(x－40)2＋300. 所以当 x＝40时，P 有最大值 300，故销售单价为 40元时，才 能获得最大日销售利润． 22．(本小题满分 12分)已知函数 f(x)＝x＋mx，且 f(1)＝2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)判断函数 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结 论； (3)若 f(a)>2，求实数 a的取值范围． 解：由 f(1)＝2，得 1＋m＝2，m＝1. 所以 f(x)＝x＋1x. (1)f(x)＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝－x＋ 1－x ＝－x＋1 x ＝－f(x)． 所以 f(x)为奇函数． (2)f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数． 证明：设任意的 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－x1－x2x1x2 ＝(x1－x2)x1x2－1x1x2 ， 因为 1<x1<x2， 所以 x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (3)设任意的 x1，x2∈(0，1)，且 x1<x2， 由(2)知 f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（x1x2－1） x1x2， 由于 x1－x2<0，0<x1x2<1， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以 f(x)在(0，1)上是减函数． 由 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数，且 f(1)＝2 知， 当 a∈(0，1)时，f(a)>2＝f(1)成立； 当 a∈(1，＋∞)时，f(a)>2＝f(1)成立； 而当 a<0时，f(a)<0，不满足题设． 综上可知，实数 a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．
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