高中数学：用反证法证明不等式

如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法。

例1. 设a，b，c，d均为正数，求证：下列三个不等式①a＋b＜c＋d，②，③中至少有一个不正确。

证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a，b，c，d都是正数，所以由不等式①、②得，。

由不等式③得，

因为，所以

综合不等式②，得，即

由不等式④，得，即，显然矛盾。

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。

例2. 已知求证：。

证明：由知≠0，假设，则

又因为，所以，即

从而，与已知矛盾。

∴假设不成立，从而

同理，可证。

例3. 若，求证：。

证明：假设，则，即。

因为所以

故

又，，即

∴，即，不成立。

故假设不成立，即。

 

例4. 设a，b，c均为小于1的正数，求证：，不能同时大于。

证明：假设同时大于，即，，。

则由，可得

同理，，

三个同向不等式两边分别相加，得，所以假设不成立。

∴原结论成立。

 

例5. 若，，，求证：，不能同时大于1。

证明：由题意知

①＋②＋③，得矛盾，假设不成立。

故，，不能同时大于1。

▍ 来源：综合网络