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数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

2019-08-15  wenxuefen...

数学虽然严谨,但也往往很神奇,在逻辑思维的推动下,有时候可以产生一些匪夷所思的结果,今天所介绍的莫比乌斯带和克莱因瓶就是其中两个比较典型的例子。它们看起来奇怪扭曲,但确确实实是可以存在的东西,这也从侧面印证了我们所在的空间的多样性。

莫比乌斯带

莫比乌斯带应该是很多人都听说过的东西,它可以通过将长方形纸条扭曲180度粘合得到,它由德国数学家在1858年首先发现。可能有人会问,这么简单就能实现的东西有什么奇怪的吗?

莫比乌斯带看起来非常简单,但我们却可以推理出许多神奇的结论来。首先莫比乌斯带是拓扑学中一个典型的不可定向空间,形象一点来说,如果一个人在莫比乌斯带上行走,当他回到起点时,自己可能站到了原来的反面,而且没有翻越边界。那么此时,自己就变成了原来的镜像。这样看起来,莫比乌斯带就只有一个面。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

如果有一种生活在莫比乌斯带上的二维生物,当他沿着自己的空间不断的走下去(没有原路返回),当他回到原来的地方时,它就会发现自己变成了自己的镜像,也就是,虽然回到了起点,但自己已经不是自己了。对于这种生物而言,莫比乌斯带是封闭的,自己是无法通过翻越边界实现镜像对称的。对于嵌入在三维空间中的莫比乌斯带,可能神奇之处还不够明显,为此我们还要介绍'克莱因瓶'。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

克莱因瓶

1882年,德国著名数学家克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶可以形象描述为:一个瓶子底部有一个洞,延长瓶子的顶部并且扭曲地进入瓶子内部但不和瓶子相交,然后和底部相连接。和莫比乌斯带一样,克莱因瓶同样是一个不可定向空间,无法像球面那样区分内部和外部,而且它比莫比乌斯带还要“扭曲”。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

可能有人会好奇,不和瓶子相交怎么能进入瓶子内部呢?我们要指出,克莱因瓶是想象和逻辑思维的数学产物,可以在四维空间中实现,在我们所处的三维空间里是无法实现的,也是我们这样的三维生物无法直观感受的。

和莫比乌斯带一样,克莱因瓶也是封闭的,也是二维的曲面,但由于所处空间维数的增加,克莱因瓶也更加神奇。如果有一种生活在克莱因瓶中会飞的生物,那么它可以不穿越瓶子的边界而从封闭的瓶子内部飞出来。

镜像对称

前面已经说过,在类似莫比乌斯带和克莱因瓶这样的曲面上,可以通过移动把物体变成自己的镜像,这或许是最有意思的一个地方。关于这一点,伽莫夫在他的名著《从一到无穷大》里有非常精彩的描述。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

镜像对称的东西在我们的生活中非常多,例如我们的双手,镜像对称却无法重合,这也就引出了一个非常重要的概念,也就是'手性',学生物和化学的同学应该对这个概念很熟悉。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

设想一下,如果我们生活的空间是一个类似于莫比乌斯带和克莱因瓶这样,那么我们移动的距离如果足够长的话,那么回到原来的地方时,就成为了自己的镜像,左手变右手,左脑变右脑,心脏也到右边去了,这些是可以察觉的变化。但还有很多难以察觉到变化,这就涉及到'手性'。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

在组成蛋白质的20种氨基酸中,除了甘氨酸,其他19种都是左手性的,而我们体内的酶对由氨基酸构成的蛋白质的作用需要识别手性才能进行。如果一个人经过这样的“镜像对称旅行”回到了地球,那他将无法食用和消化地球上的食物,因为体内的酶此时只能对右手性的蛋白质起作用。这样的区别还会体现在其他的有机分子上,例如DNA分子,由于手性的区别,旅行回来的人已经和普通的人类形成了生殖隔离,这样看来,他们已经是另一个物种了,像是从另一个世界来的外星人一样,但他们只是做了一次回到起点的长途旅行而已。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

对于这样的想象,伽莫夫写到:

但是,如果我们的三维空间也像莫比乌斯带一样,被扭曲了,然后首尾相连,我们也可以达到相同的目的。也许有一个手套工厂为了降低成本,只生产右手手套,然后把一半的手套用宇宙飞船运到宇宙尽头去走一圈,回来后就变成了左手手套。

当然,这些都只是想象而已,至于我们的宇宙中到底存不存在这样的空间,现在看来都是未知数。不过这样脑洞大开的想象本身就已经充满了神奇和乐趣。

数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

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