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渗透数学思想方法，是数学教学的重要目标，但许多时候现实教学中并没有达成。下面笔者以教学“鸡兔同笼”时发现的问题加以说明。 “鸡兔同笼”是“数学广角”中的一个经典例题，它的主要教学目标是通过解决这一问题向学生渗透假设法这一数学思想方法。以前的实验版教材将它安排在六年一期进行教学，为学生提供了列表法、假设法、列方程等三种解题方法。新教材则将这一内容移到了四年二期，我想编者的用意之一应该是让在学生还没有学习方程之前来进行教学，从而避开用方程解答对假设法解题的干扰。 在进行教学内容编排的时候，新教材大体是按照“介绍背景—展示古题—简化原题—猜想—引导列表—引导假设—巩固运用”这一思路来的，而老师们的教学基本上也都遵循了教材的设计思路。 第一步，以古题“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”为铺垫，向学生介绍知识背景，解释古题的涵义。 第二步，提示学生，因古题中数据太大，不便研究，所以出示简化后的例题：“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各几只？” 第三步，引导学生由无头绪地猜测到有序地列表。在这一过程中，不但使学生体会到列表对解决这个问题的优势，还向他们渗透了有序思考问题的重要性。学生通过列表有序尝试之后，即可找出本题的正确答案：鸡有3只，兔有5只。 第四步，引导学生用假设法解题，并配以图示说明（图略）： （1）如果笼子里都是鸡，那么就有8×2=16（只）脚，这样就多出26-16=10（只）脚。 （2）一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5（只）兔。 （3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。 这个环节是本节课教学的重点和难点，所以有经验的老师不管是在时间的安排上还是教学的设计上都会想一些办法，以期达到良好的教学效果。 第五步，巩固运用，通过一些基础题和变式题的练习，让学生进一步巩固所学，并在列表法和假设法的对比练习中，使学生体会到列表法的局限和假设法的优势。 这样教学，感觉比较顺畅自然，教学的重难点突出了，学生似乎学得也比较轻松。那是不是本节课向学生渗透假设法的目标就较好地达成了呢？不一定，教过这个知识的老师大都有这样一种感觉，学生在新学的时候，老师带着学生，确实大多能比较顺畅地用假设法来解题，但过段时间再来独立地做同类型题，学生就又不知从何下手了。如果要用假设法来解决其他类似的数学问题就更无从谈起了。也就是说学生压根就没有形成用假设思想解决数学问题的意识。 这种局面形成的原因，长沙市教科院小学数学教研员张新春老师有过一个非常形象的比喻，他说：“这就好比现在开车用的导航，我们到一个不熟悉的地方，最方便的方法就是打开导航，这样就能比较顺利地到达目的地，避免好多的麻烦，也节约很多时间。但同时也会给我们造成一个错觉，这个地方是我亲自开车来的，路已走过一遍，那么这条路线我应该已经掌握了吧。实际上呢？大多数情况下，抛开导航，同样的路线我们还是不会走。为什么呢？因为在导航的指引下，我们是被动地接受信息，大脑并没有进行主动地思考。”知识的学习也是同样的道理，没有主动地思考和探究，知识、技能、思想、活动经验就难以真正形成。回想这节课的设计，学生进行假设解题的整个过程，都是在教师一步一步地引导下完成的，学生主动思考和探索的空间几乎没有。这样，如果没有了老师这个导航，学生独立来解决问题的时候，他们感觉无从下手也就不足为奇了。 假设法这一数学思想方法到底该如何渗透给学生呢？我想最理想的方式是润物细无声，让学生在主动参与、体验探究直观问题的解决过程中逐惭感悟数学思想方法。于是我尝试教学重构。 在保持第一、二、三步的教学环节基本不变的情况下，第四步再次出示翻译后的古题：“鸡兔同笼，从上面数有三十五个头，从下面数有九十四只脚，问鸡和兔各有多少只？”并要求学生用刚刚学过的列表法来进行解决。按前面学习的有序思考问题的思路，学生一般可以从35只全是鸡（或全是兔）为起点来进行猜想，并列出下表： 在列表猜想的过程中，学生会逐渐发现，一直这么列下去，问题是能解决，但因为现有数据离“94只脚”比较远，那表格也要列得比较长，很麻烦。 “难道一定总是要一增一减这么老老实实地一一列举下去吗？就不能偷点懒吗？”教师可以通过这样的提问来启迪学生放弃原有的惯性思维，转而思考可以“偷懒”的新方法。 通过思考，学生不难发现，既然离正确答案还比较远，就没有必要非得一一列举下去，可以跳过一些数据来进行尝试。一番尝试之后，肯定会出现各种各样的情况，一部分学生可能通过一两次尝试就找到了正确答案，但肯定也会有一部分学生寻找正确答案的过程不那么顺利，甚至会出现算出的脚的数量大大超出94只的现象。但我们千万不要小看了学生这个试错的过程，学生往往就是在经历了这样的挫折之后，才会更进一步地去转变思维方式，思考解决问题的新方法。因此，教师组织学生交流了刚才在尝试“跳数据猜想”的过程中出现的各种问题后，可以进一步追问：“看样子跳过一些数据来进行猜想确实是帮到了一些同学，可很多同学还是尝试了很多次以后才找到正确答案，那么我们有没有办法只试一次就能准确地知道鸡要减少多少只，兔要增加多少只呢？”于是，师生可以进行如下互动： 通过以上列表可知，当假设全是鸡时共有35×2=70（只）脚，而每减少一只鸡，增加一只兔，则可以增加4-2=2（只）脚，最终的正确答案是94只脚，共需要增加94-70=24（只）脚，所以鸡需要减少24÷2=12（只），变为35-12=23（只），而兔则变为12只，从而探索出正确答案。在这个基础上，教师再用原设计中的第四步（图示法）来向学生加以解释说明，帮学生进一步巩固所学。 对比前后两种不同的设计，其本质区别就在于，第一种教学设计是将列表法和假设法这两种解题思路完全割裂开来。就学生的感受来说，列表法思路比较简单，学生比较容易接受，因为它形象、直观、易于理解，但它的缺点是当数据较大时，用这种方法就比较麻烦了；而假设法虽然优势很明显，但对小学生来说是一种全新的解题思路，它更为抽象，对学生思维能力的要求更高，如果我们教学时另起炉灶，知识的生成没有根基的话，就很容易变成无源之水、无本之木，学生肯定就难以接受。修改后的教学设计则将这两种解题方法有机地联系起来，在学生熟悉了列表法之后，再通过设置一些障碍，“逼着”学生去主动地实践、思考和探究新的方法，非常自然地完成了由列表法向假设法过渡，这样的渗透确有润物细无声之妙。 （作者单位：浏阳市教育局教育科学研究所） 原文刊发于《湖南教育》2019年7月C版 |
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