从麦克斯韦方程组到电磁波动方程

麦克斯韦方程组的威名可谓如雷贯耳，是经典电磁学的最高成就。先来看看麦克斯韦方程组的样子：

方程组写成以上形式，需要一个前提：空间中的媒质是各向同性的（即，媒质中的每一点的物理性质不随方向改变）。

方程组的一式描述了电荷产生电场的高斯定律，二式描述了变化的磁场产生电场的法拉第电磁感应定律，三式描述了磁单极子不存在的高斯磁定律，四式描述了电流和变化的电场产生磁场的麦克斯韦-安培环路定律。

有物理意义上的场必定存在物理意义上的源，因此，我们可以发现，麦克斯韦方程组等式的左边是场，右边是源。由于，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场；又由于，只存在电荷而不存在磁荷（即不存在磁单极子，或者理解为，电力线是发散的，而磁力线是闭合的，使得具有终始方向的磁感应强度B与闭合曲面S的积分总为0）；所以，根据方程组，只要在已知电荷分布和电流分布（即运动电荷）的情况下，就可以得到电场和磁场的唯一分布。

在如今物理学的教材中，标准的麦克斯韦方程组都是以上述四个积分形式出现的，不过，方程组的最初形式却并不是这样。麦克斯韦本人当年（1865年）在论文《电磁场动力论》中写下的是20个方程，都是分量形式，不是矢量形式；上述的这四个矢量积分形式的方程组是由另一位物理学家赫兹在1890年写出的[1]。

关于麦克斯韦方程组，物理学教材都告诉学生：麦克斯韦从他的方程组中推导出了电磁波的存在，并同时做出两项预言，电磁波的传播速度可以达到光速、光是一种电磁波，后来被赫兹用实验所证实。虽说很多人都知道这一事实，但很少有人去思考：如何从麦克斯韦方程组推导出电磁波的存在。

要从麦克斯韦方程组推导出电磁波，最关键的一个步骤是：采用什么方法，把方程组的积分形式演变到微分形式。令人感到有些奇怪的是，对于这个关键的步骤，几乎所有的物理学教材中都没有展示，而这正是写下本文的意义所在。

为解决这个问题，需要引进数学上的矢量分析。

大家都知道，在物理学里，E和B代表着电场强度和磁感应强度（想一下，为什么不把B对称地叫做磁场强度？然后去翻查物理史资料，会发现里面的历史其实很有趣，也可以顺便了解E和B之间的联系），所以就理所当然地认为麦克斯韦方程组中的E和B就是矢量电场强度和矢量感应强度。其实这样的理解并不完全正确，方程组中的E和B表示的是矢量场，即：空间中任意一点（x，y，z），在时刻t的电场强度（或磁感应强度）的大小和方向，用数学的方式表示：

要研究一个矢量场的性质，可完全用散度和旋度来表明[2]。因此，为了解矢量场E、B，我们需要知道E、B的散度和旋度。

先来看散度。所谓散度，是指：在一个矢量场A中，空间上存在一个点p，围绕该点作一闭合曲面S（曲面S上每一处的法线方向都是向外），矢量场A与该曲面S的积分定义为矢量场A穿过闭合曲面S的通量，再设闭合曲面S包围的体积为ΔV，当ΔV趋向于0时（此时S的也趋向于0，记为dS），我们把矢量场A穿过闭合曲面dS的通量与ΔV的比值称为矢量场A在p点的散度[3]，散度的符号记为div，用数学公式表示如下：

散度是一个标量，没有方向，在一个矢量场A中，空间每一点的散度构成一个散度标量场。在直角坐标系中，散度的运算表达式为：

根据上面两式作一番变换：

这个结果公式也称为高斯-奥斯特罗格拉茨基公式（也可称为矢量场的散度定理）。有了这个公式之后，将此式与麦克斯韦方程组中的一式三式比较，可以容易得到：

再来看旋度。比起散度，旋度的概念有些复杂。先给出矢量场的环量面密度概念：在一个矢量场A中，空间上存在一个点p，围绕该点作一闭合回路L，回路的绕行方向和回路所在面的法线方向符合右手螺旋关系，矢量场A与该回路L的积分定义为矢量场A经过闭合回路L的环量，再设闭合回路L所包围的面积为ΔS，当ΔS趋向于0时（此时L也趋向于0，记为dl），我们把矢量场A经过闭合回路dl的环量与ΔS的比值称为矢量场A在p点沿ΔS法线方向的环量面密度[4]，用数学公式表示如下：

由此可知，环量面密度是一个与方向有关的概念。有了环量面密度的概念后，现在可以给出旋度的定义了：在一个矢量场A中，空间上有一点p，如果在该点处存在一个矢量P，使得矢量场A在点p处沿着矢量P方向的环量面密度为最大，而这个最大值正好等于矢量P的绝对值，我们就把矢量P称为矢量场A在点p处的旋度，旋度的符号记为rot，用数学公式表示[5]：

旋度是一个矢量，有方向也有数值，在一个矢量场A中，空间每一点的旋度构成了一个旋度矢量场。那么，在知道了一个矢量场A的情况下，如何求得矢量场A的旋度呢？在直角坐标系下，旋度的运算表达式为：

我们现在再来回顾一下旋度的定义，其中最关键的是：在点p处，如何找到该处环量面密度最大的方向。结合环量面密度的定义公式来看，如果dl的方向处处与矢量场A相同，则求得的环量面密度即为最大，因此，在点p处，根据矢量场A的方向，选择合适的闭合回路dl与绕行方向，就可求得该点的旋度，我们将环量面密度的定义式作一番变换：

上式中的上标M表示：选择了合适的闭合回路dl之后，计算出来的该处最大的环量面密度。根据上式，再进行推导：

这个结果公式也称为斯托克斯公式（也可称为矢量场的旋度定理）。有了这个公式之后，将此式与麦克斯韦方程组中的二式四式比较，可以容易得到：

是否还记得前面的两个微分形式？我们现在已经得到了四个微分形式：

这四个微分形式正是我们非常熟悉的麦克斯韦方程组的微分公式，文章开头列出来的是积分公式。

现在我们从这四个微分公式推导出电磁波方程。

在一个自由的各向同性的媒质空间中（即，没有电荷分布和电流分布，ρ=0，矢量场J=0），麦克斯韦方程组的微分形式就可以写成：

根据以上四式和矢量分析的运算法则，可以得到：

同样的方法，可以得到

这两个结果式再进行整理：

最后可得

以上两式就是电磁波方程，可以看出，电磁波方程的形式和经典物理学的机械波的波动方程完全一致：

波动方程中的u是波函数，表示媒质上各点（x，y，z）在t时刻的位移，v是波的传播速度。波动方程是物理学里最基本的方程之一，任何物理量对时间和空间坐标的关系只要满足上式，该物理量就按波的形式传播。如果想知道波动方程是怎么推导出来的，可以阅读梁昆淼的《数学物理方法》一书，里面对波动方程的来龙去脉有详尽的解释。

电磁波方程中的c是光速，带有下标r的希腊字母ε、μ分别表示：介质的相对介电常数、介质的相对磁导率，现代物理学认为在真空中，两者的数值都等于1，在其他介质中都大于1，换而言之，真空中的光速大于任何介质中的光速。变化的电场在邻近的空间产生磁场，这个变化的磁场在较远的空间又会产生新的电场，电场磁场相互交变产生，由近及远向周围的空间传播出去，形成电磁波。

通过计算，麦克斯韦预言，电磁波的传播速度等于光速，又断言光是一种电磁波，也就是说，光波的波动方程就是电磁波方程。1862年，麦克斯韦在论文《论物理力线之第三部分-分子涡旋理论应用于静电学》中写到：光是某种媒质的横向波动，这种媒质正是产生电磁现象的同一种媒质；1868年，麦克斯韦在论文《关于光的电磁理论》中明确提出：光是一种按照电磁规律在场内传播的电磁扰动[7]。

麦克斯韦这位物理学大师，因身体健康原因于1879年去世，年仅48岁，假如他能再活30年，也许他能解决以太之谜、解释迈克尔逊-莫雷实验，如此，后来也不会出现洛伦兹变换、洛伦兹协变，20世纪的物理学可能会走上一条完全不同于现在的道路。当然，历史不能假设。