| 本进行研不含其 州大学 出重要 声明的 本学位论文 非涉密论文面 .论文作者签名:.垫!型生日期: 弗雷格逻辑研究中文摘要 中文摘要 弗雷格是德国著名的数学家、逻辑学家和哲学家。他是现代逻辑的创始人和 奠基人，同时也是公认的语言哲学和分析哲学的奠基人。他的思想对于现代逻辑 的产生和发展产生了极其重要的推动作用，尤其是他所构造的概念文字和建立的 逻辑演算系统结束了亚里士多德传统逻辑的统治地位，开创了逻辑的新时代。逻 辑主义方案最终失败了，但作为逻辑工具的演算系统最终保存了下来。 本文主要从弗雷格的慨念文字、算术基础、对思想和真的探求、涵义和指称 以及逻辑主义纲领等六个方面对弗雷格的逻辑主义思想进行初步的探究，一方面 希望通过对弗雷格逻辑思想的背景研究而从整体上来把握弗雷格;另一方面试图 通过对弗雷格理论的研究以及在反思前人观点的基础上对弗雷格作出一个全面客 观的评价。 关键词:概念文字 思想真 涵义指称逻辑主义 作者:赵向革 指导教师:朱建平(教授) mJ‘4L_I u-r IrZc sL 02IC The Research Frege’sLogic Abstract Frege ls atamous German mathematician，philosopher modemlogic acknowledgedfounder languagephilosophy anal”ic甜philosophy.Hisideas moderrlIoglc played ex仃emelyimponant role especially hisconstI.uction deductiVesystem lo西cover Aristoteliantradition lo百c dominance，a11d create anew era logic.Thelogicist project had failed，But inferenceFrege had devised t11isproject sun，iVed collapse.This thesis mainly do researches Frege’sconcept.script，arithmetic foundation， thoughts met九lth，meaning a11d referential sixaspects research，on oneh锄d，tu haVeawhole idea about Frege t11rough Frege’swork;On a11.roundobj ective evaluation about Frege，by researching his theo巧a11d predecessors’viewsabout Frege. Kev words:the concept’script，thought，the trutll，meaning，referential， logicism. W“tten by:zhao xiangge SuperVised by:z11u jianping 目录引言………………………………………………………………… 一、生平与著作……………………………………………………” 二、概念文字………………………………………………………“ (一)构造概念文字的设想…………………………………… (二)概念符号系统的元素…………………………………“ (三)弗雷格概念文字的意义………………………………“ 三、算术基础………………………………………………………… (一)对数的定义……………………………………………“ (二)对O、1和后继的定义………………………………… (一)思想的界定……………………………………………..(二)思想和表象……………………………………………………………… 19 (三)思想与真………………………….-.………………………………一………21 五、弗雷格对真的研究……………………………………………………………… 24 (一)真之性质………………………………………………………………… 24 (二)探求真的方法………………………………………………………………26 (三)真--逻辑研究的对象………………………………………………… 31 六、弗雷格的涵义和指称理论……………………………………………………… 33 (一)名称的涵义和指称……………………………………………………… 33 (二)命题的涵义和指称……………………………………………………… 34 七、逻辑主义纲领的失败及弗雷格的影响………………………………………… 38 (一)逻辑主义的失败………………………………………………………… 38 (二)罗素的逻辑观…………………………………………………………… 38 (三)新逻辑主义……………………………………………………………….42 结语……………………………………………………………………………………………………………”44 参考文献……………………………………………………………………………… 45 后记………………………………………………………………………………… 46 弗雷格逻辑研究 引言 引言弗雷格生于1848年11月8 F1，卒于1925年7月26 R，是德国著名的数学 家、逻辑学家和哲学家。他生前并没有引起世人多大的关注，甚至是没有得到同 时代人的认识和理解，死后却得到大家的普遍认可，被公认为是现代逻辑和语言 分析哲学的奠基者。他的思想对二十世纪的逻辑、哲学及其相关学科都产生了重 要的影响，尤其是他的逻辑思想，打破了亚罩士多德传统逻辑长期统治的地位， 丌创了现代逻辑的历史先河。 弗雷格长期从事数学和逻辑方面的研究，他对逻辑问题的探讨主要源自于数 学的需要，他认为逻辑可以推导出全部的数学。在他的逻辑研究生涯中，主要是 构建他的逻辑主义方案。他在1879年发表了《概念文字》，虽然这部著作在弗雷 格在世时没有得到人们的认同，但现在一致认为它是现代逻辑的第一部经典著作。 在这部著作中弗雷格首先为避免自然语言中出现的不确定性和模糊性而构建了一 种人工语言--概念符号系统;其次是建立了一种严格的谓词演算系统--一阶 谓词演算系统。他的最终目的就是要为算术的证明提供一个严格的逻辑演算基础。 为达到这一目的，他做出很多努力，但是当《算术的基本规律》的第二卷要发表 时他收到罗素的来信，信中阐述了他的工作中所存在的问题，即“罗素悖论"。弗 雷格深受打击，这表明他毕生致力的逻辑主义方案的基础受到冲击。逻辑主义最 终失败了。 但后来弗雷格又写出了几篇意义重大的论文，如《思想》、《否定》、《论涵义 和指称》等，弗雷格意识到虽然他的逻辑主义方案失败了，但他所建立的概念文 字“将能成为哲学家们的一种有用的工具”。概念文字的作用不仅局限在数学领域， 对哲学的影响也是很大的。 弗雷格不仅自己有很多先创性的贡献，同时他也引导后来的很多逻辑学家和 哲学家如罗素、维特根斯坦、卡尔纳普等在逻辑和哲学领域做出巨大的贡献。正 是由于他的工作的先创性及严谨性使我把弗雷格的逻辑作为硕士毕业论文的选题。 一、生平与著作 弗雷格逻辑研究 生平与著作 戈特洛布.弗雷格(Gottlob.Frege)出生于德国北部的一个海岸小城威斯玛， 他的父母都是教师。他一直住在威斯玛直到1869年进入耶拿大学读书，在那里度 过四个学期后进入哥廷根大学继续深造。在哥廷根大学他主要学习数学、物理、 化学和哲学等课程，师从洛采(HenIlan Lotze)，学习宗教哲学。1873年末，他在 哥廷根大学获得哲学博士学位，博士论文是“论想象图形在平面上的几何表示’’。 1874年，他以论文“基于量概念的扩大的演算方法"申请并获得耶拿大学数学系 的授课资格，主要讲授分析几何和函数论。1879年在他发表了《概念文字》之后， 他被任命为该校副教授。1896年，他被任命为该校名誉教授。1918年，他在执教 44年后退休。在他的教学期间，卡尔纳普和维特根斯坦都曾短期听过他的课。但 因为他所使用的符号和所建立的逻辑体系晦涩难懂，听他课的学生很少，学校对 他的教学评价也不是很高。但他的教学仍然是有成就的，卡尔纳普就曾说过:“我 从大学学习中获得的最有成果的启示不是来自那些专门的哲学领域或专门的数学 领域的教学，而是来自弗雷格关于这两个领域中的教学。’’退休后，他移居威斯 玛附近的巴特克莱纳，直至1925年去世。弗雷格在1887年与玛格丽特 格结婚，不幸的是七年后她就去世了。他们的几个孩子也都不幸夭折。1908年，弗雷格领养了一个5岁大的孤儿--阿尔弗罩德 弗雷格，后来成为他的继承人。 弗雷格晚年就是由这位养子来扰养的，他也很爱他，他把他未发表的遗稿遗赠给 他，并附有一个纸条: “亲爱的阿尔弗里德: 不要轻视我写下的这些手稿，即使它们并非全都是会子，但是其中确有金子。 我相信，其中有些东西将来会得到比现在高得多的评价。注意保留，一页也不要 丢失了。 爱你的父亲 以此，我把自己很大的一部分都留给你了。”国 由此可见弗雷格对自己的著作的珍视程度，从而也体现出他对养子的拳拳深情。 1935年，阿尔弗罩德把弗雷格的遗稿交给曼斯特大学的海因阜希 mB，num.T-ui:GFrcge.Ct)nccF’tuaI NotaIion RelatcdAnicses.Susscx.1 982.P.8 “转rjI自I:路:《弗雷格思想听允》，{I:会科学文献…版{I:，1996年版，笫17贝 为震惊，因为我一向把弗雷格作为一个绝对理智的人来尊敬，如果或许不是可亲近的人的话，弗雷格遗物的编辑者决定隐瞒这个特殊的材料使我感到遗憾。从它 之中我学到了关于人类(很遗憾，对此我是不知道的)的某种东西，或许也是关 于欧洲的某些东西”。m这的确很令人沮丧。 弗雷格生前出版了三本书，分别是《概念文字》(1879)、《算术基础》(1884) 和《算术的基本规律》，最后一本书的第一卷是在1893年出版，第二卷是在1903 年出版。在这三本书中弗雷格最主要的目的是要证明他提出的逻辑主义方案，即 算术可以化归为逻辑。在《概念文字》中，他的主要动机和目的就是要为算术的 证明提供一个可靠的、严密的逻辑基础，即形式语言。因为当他致力于研究如何 将算术化归为逻辑时，他发现了自然语言的缺陷--不完整性和歧义性。而这种 缺陷恰恰是他实现目标的最大障碍，因此他产生了构造形式语言的思想。在这部 书中，他还建立了一阶谓词演算系统，明确提出了他的逻辑主义纲领，即从逻辑 推出数学。在《算术基础》中，弗雷格对他的逻辑主义方案作出了非形式化的表 述。他详细阐述了自己对数的理论，定义了0、1、后继等概念。他认为与他同时 Dumment.M.Ia】 Fregc.Philosop h)，ofLanguage.211d，Edilion.London.1981.PxII 一、生平与著作弗雷格逻辑研究 代的数学家没有对数的基本概念作出令人满意的分析，因此他批评了经验主义、 形式主义和心理主义等对数的概念的错误分析，如批评了康德和密尔的观点。弗 雷格的逻辑主义方案的形式结构是在他的《算术的基本规律》一书中建立的。这 部书的第一部分主要是对《概念文字》里的理论进行了修改，建立并解释了他的 逻辑系统。第二部分分(I)和(II)，继续讨论在《算术基础》中建立的结构:建立 了自然数理论的基本法则。然而，奇怪的是弗雷格并没有为算术特设一组公理系 统，也没有为加法和乘法提供合理的方法。第三部分是有关实数的理论。它的第 一部分是有关哲学的争论，而正是这一争论激起他对实数的建构。通过对其他反 对者的批判最终在第二部分建立了自然数理论。第二部分始于形式结构，但最终 却没有完成。第三卷计划出版但没有出版。其中的原因即是我们今天所知道的“罗 素悖论"。 弗雷格意识到他的缺陷后很快增写了一个附录，试图对该悖论进行修改。然 而他很快意识到这个修改仍然是包含矛盾的，是不成功的。弗雷格彻底灰心了， 这直接导致他放弃第三卷的写作。可以况这是一个毁灭性的事件，但足弗雷格并 没有就此停止不前，从那个低谷走出来后弗雷格继续他的工作，他继续发展他的 哲学观点，与其他的数学家和哲学家保持通信和联系，还发表了很多有影响的论 文，如在《德国唯心主义哲学》上发表的三篇论文:《思想》(1918.1919)、《否定》 (1918.1919)和《思想结构》(1923)等。除此之外，弗雷格在早期还发表了很多 的论文，如《函数和概念》(1 891)，《论概念和对象》(1 892)，《论意义和意谓》(1 892) 等。关于弗雷格的遗著，肖尔兹做了大量的工作，计划出版三卷有关弗雷格的著 作，但由于种种原因最后都没有出版。最后他的学生赫尔梅斯与康巴托尔和考尔 巴赫在1969年出版了《弗雷格遗著》第一卷，并于1974年出版了《弗雷格遗著: 科学通信集》第二卷，这对于我们全面了解和研究弗雷格的思想具有重大意义。 弗雷格的逻辑主义失败了，但他所建立的形式语言系统作为逻辑的一个工具 保存在了《概念文字》中。因此，如果说《算术的基本规律》的附录记录了逻辑 哲学的最大失败，那么《概念文字》无疑是最大的成功。尼尔(Kneale)曾毫不夸 张地评论道:“弗雷格建立的演绎系统或演算系统在逻辑历史上是最伟大的具有独 创性的成就"，并把1879年看做是逻辑史上最重要的同期。 W.Kneale M.Kneale.1’hcDcVelopment logic.reViscdeditjon.C1arcndon 11ress.0xford.1984.p.444 弗雷格逻辑研究二、概念文字 二、概念文字 弗雷格在1879年出版了他的《概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的 形式语言》。这部著作篇幅短小，最初并没有受到世人的关注，但是今天却得到人 们的普遍承认和重视，而且这部著作也是弗雷格最伟大的不朽的著作。他后期的 许多思想都发源于《概念文字》。逻辑学家们认为弗雷格是现代逻辑的创始人，而 把《概念文字》的发表作为现代逻辑的开端。因此，研究《概念文字》具有十分 重要的意义。我这里主要介绍并讨论弗雷格构造《概念文字》的设想，概念文字 的系统及概念文字在逻辑和哲学方面的意义。 (一)构造概念文字的设想 首先我们要问弗雷格为什么要构造一种人工语言呢?这是他本人主观臆想的 吗?其实，弗雷格构造概念文字并不是凭空想象的，这与他所从事的对数学的基 础问题的研究有关。19世纪的数学家把确立数学的基础和建立完善的数学理论的 秩序作为他们研究的一个主要任务。这包括以下两方面的工作: (1)使数学理论 公理化; (2)完善数学证明的推导过程。他们寻求尽可能清楚地阐明一个理论的 基本的概念和基本的定理;他们努力以严格和精确的方式重新表述那些在以往的 理论中含有歧义的概念和定理，改善和纠正那些有缺陷的或似是而非的论证。如 果说17、18世纪是数学创新的时代，许多新的数学学科在那时被建立，但在初创 之时还遗留下一些证明上不完善的缺陷的话，那么，19世纪的数学家则旨在弥补 这些缺陷，并想要使各个数学学科连贯起来，建立一个从算术到高等数学的完整 统一的理论体系。弗雷格就是众多这样的数学家中的一员。他的独特之处在于他 想把数学建立在逻辑的基础上，他认为逻辑的规律(或逻辑的公理)要比数学的 公理更加基本和自明。这就是他的逻辑主义的方案。 弗雷格在实施这种方案时遇到了一个障碍，这就是语言的表达形式的不完善 性。这不仅是因为我们的同常用语经常含有歧义，而且还因为它的句法结构不明 确。除了在《概念文字》的序言中他没有过多地谈论语言的不完善性外，包括在 《概念文字》以及后来所发表的和没有发表的论著中，他都多次明确地指出并详 细地论证了这种不完善性。比如就一般的语言缺陷来说，他认为“在科学的较抽 象的部分，人们一再感到缺少一种可以避免别人的曲解又可以避免自己思想中错 二、概念文字 弗雷格逻辑研究 误的工具，这两个问题的原因都在于语言的不完善性”。“在涉及保证思维不犯 错误的地方，语言‘是有缺陷的”。锄就语言在表达逻辑规律方面的缺陷来说，他认 为语言不受逻辑规律的支配，遵守语法并不能保证思维活动形式的准确性，“语言 中恰恰没有严格确定的推理形式的范围，以致无法将语言形式方面完美无误的进 展与省略了中间步骤区别丌来"国，从这些论述可以看出弗雷格并不只是感到而是 十分清楚地认识到语言的缺陷，所以为了逻辑的研究，他必须重新构造一种语言。 因此，弗雷格努力寻求建立一种比普通语言更加规范的并能更好地适应于保 证推演精确性的符号系统。弗雷格写道:“我首先试图把系列安排这一概念化归 为逻辑序列，以便由此出发进到数的概念。为了不使这里无意间掺杂上某些直观 的东西，最重要的是必须使推理串完美无缺。"固弗雷格把他称之为概念文字的人 工语言与F1常语言的关系比作“显微镜对眼睛的关系”。弗雷格承认日常语言与 人的精神生活有内在的联系，具有灵活性，可用于各种不同的情况，这正如眼睛与 人的关系和其用途一样。但是同常语言在表述精确的数学理论的时候存在缺陷，正 如人们为了科学的目的，对分辨率提出更高的要求，这时眼睛的不足就显示出来 了，而显微镜恰恰完全适合这种目的。弗雷格明确指出:“这种概念文字是为一定 的科学目的构想出来的辅助工具”。@由此可见，当弗雷格试图建立一种人工语言的 时候，他并没有想到过要用人工语言来取代日常语言，他只是确认人工语言在一定 的领域内对一定的科学目的具有辅助工具的作用，J下如显微镜对眼睛的辅助工具作 用一样。但是弗雷格也明确意识到这种辅助工具在科学进步上的重大意义。他写 道:“如果这种方法的发展能促进科学的进步，就会使我感到安慰。培根就认为，发展 一种藉以容易发现所有东西的工具比发现个别事物更重要。而且近代所有重大科 学进展的根源确实就在于方法的改进”。翁 在弗雷格以后的分析哲学发展的历史上，罗素、维特根斯坦、卡尔纳普等分 析哲学家想到通过建立和运用人工语言，澄清对同常语言的误解，从而清除形而上 学，消解哲学的伪问题。这是弗雷格不曾料到的。我们很难说弗雷格是否会赞成这 m弗雷格:《弗雷格哲学论蔷选辑一论慨念义字的科学根据》，一i路译，.1i炳义校，商务印书馆:I{版，20()6年 版.笫39负 曲弗雷格:《弗雷格哲学论诸选辑一论概念义7的科学根据》，’ji路译，1:炳义校，商务印*馆{I{版，2006年 版，籀40负 商，弗雷格:《弗雷格哲学论嚣选辑一论概念文。的科学根据》，一路译，I:炳丈梭，商务印书馆jJ:版，2006年 弗雷格逻辑研究二、概念文字 种做法。就弗雷格自己而论，他只是为自己提出了一个较为有限的目标。早在弗雷 格之前二百年，莱布尼茨就提出过建立一种普遍语言的构想。这种普遍语言要比 任何自然语言简单和更有规则，具有一种哲学上构造的推理演算的结构，使形式推 理容易进行。他预言，如果新的语言是完善的，那么对于解决任何方面的争端怀有善 良愿望的人来}兑，只要坐下来，拿出纸和笔进行演算就可以了。但是莱布尼茨没有具 体地实施这个方案。而真J下迈出了实质性一步，使这个伟大理想得以逐步实现的人 是弗雷格。我们看到，弗雷格在从事这一工作的时候非常谨慎，并且头脑相当清醒。 他写道:“莱布尼茨也认识到一种适当的表达方式的优点，并且也许高估了它……当 一项任务看上去不能以最普遍的方式解决时，我们就暂时对它加以限制，然后也许 可以用逐步扩展的方法最终完成这项任务”…。 、在《概念文字》这部著作中，弗雷格详细地介绍了他的概念文字，以及用这 种形式语言构造的逻辑演算系统。在概念文字的构造的过程中，他主要借鉴了两 种语言，一种是传统逻辑的自然语言，另一种是算术的形式语言。 由于传统逻辑的根深蒂固的影响，弗雷格在最丌始也曾使用这种方式，但后 来他发现这种方式行不通。J下像他自己所说“在第一次设计一种形式语言时，我 受到语言例子的诱惑，用主词和谓词构造判断。但是不久我就确信，这对我独特 的目的是有妨碍的，并且只会导致毫无用处的详述"圆。在他看来，区别主词和谓 词只能造成歪曲;同时，传统逻辑对全称判断和特称判断进行区别，而他认为这 种区别不是对判断而是对内容的区别;对直言、假言和选言判断的区别“只有语 法意义”，对必然判断和直言判断的区别在于“前者暗示普遍判断的存在，由此可 以推出句子，而后者没有这样的暗示"一。因此.他最终抛弃了传统逻辑的表述方式。 同时，我们知道弗雷格是一位数学家，他自然而然地会借鉴数学的形式语言， 但他不是生搬硬套机械模仿，而是从它的整体思想方面来进行改造。他明确指出 算术的形式语言缺少逻辑词的表达，因而不能说算术的形式语言就是完全意义上 的概念文字。他希望构造这样一种概念文字--“它必须有逻辑关系的简单表述 方式，这些表述方式限制在必要的数量之内，必须能够被人们简便而可靠地掌握。 这些形式必须适合于与内容最密切地结合在一起，同时必须力求简明，以便能够 充分利用书写平面的二维广延达到描述的清晰。”锄 …弗雷格:《弗雷格哲学论托选辑一概念史j一序》，li路译，.f:炳艾校，商务印书馆ff{版，2(J(16年版，第3页 。弗雷格:《弗蔷格哲学论等选辑一概念义0i序》，I:路详.I:炳义校，商务E|J书馆jj;版，201)6年版，笫9虹 。弗雷恪:《弗雷恪哲学论酱选#唯一概念义‘，序》，li路i节.1i炳义校，商务印书馆…版，20(的年版，第9贝 二、概念文字弗雷格逻辑研究 实际上，弗雷格借鉴了传统的自然语言的表达方式和数学的形式语言，用表 示逻辑关系的符号补充数学的形式语言，最终创造出他的概念文字。 从某一方面看，弗雷格的逻辑不需要解释，他在《概念文字》中建立的逻辑 系统即是现代逻辑。而且没必要通过注释或者澄清难点以证明它确实是这样一种 情况:任何一个掌握量词逻辑基本知识的人能立即看出这就是他们在现代逻辑教 科书上所学到的逻辑。尽管它们强调的重点不同，并且有些知识点的解释与现代 的解释有所不同。有些分歧是很重要的，我们将在后面指出这些不同并追问它们 在基本概念不同，还是在逻辑的作用或者逻辑系统的性质方面有重要的不同。即 便如此，令人感到吃惊的是，最令现代读者困惑的居然是无足轻重的符号标记的 问题。读弗雷格以前的著作常常会陷入一种寻找相似特征的情形，而读《概念文 字》就不会出现这种情况。 毫无疑问，J下是基于这方面的原因，达米特才对《概念文字》做出如下评价: “令人感到震惊的是它没有先驱者:完全产生于弗雷格的头脑而不受任何外界的 影响"m。从另一方面来说，弗雷格对现代逻辑的建立无需任何解释。当然这并不 是否定弗雷格的逻辑系统在十九世纪的向着数学基础的严格性趋势发展中的作 用。这种趋势主要以威尔斯特拉斯(W|eierstrass)对演算的重新建立和戴德金 (Dedekind)的关于数的理论的建立为标志，并且在希尔伯特(Hjlben)的欧几 里得的几何学的公理系统达到顶点。也不是否定量词逻辑是“它的时代已经到来” 这样一种观点:以下事实绝非偶然，皮尔士在四年后也独立地提出并引入量词(他 的术语)和变元(即他所谓的指数)和他所研究的关系逻辑联系起来。但是皮尔 士的创新是不完整的，这反映了他发展的布尔框架是不完全的，在《概念文字》 中现代逻辑以全新的形式表现出来。在几个方面它都足逻辑史上首次出现的:如 第一个通过量词和变元表达普遍概括，这是通过允许涉及到重叠量词的多重概括 而得到的;第一个逻辑的形式系统，在这其中推理的正确性是由句法的标准给予 确立的;第一个数学意义上的高阶逻辑的使用。但是最令人惊讶的是《概念文字》 一次性地拥有了所有的这些特性。 就《概念文字》本身，弗雷格对于写作这部书的动机，谈得出奇的少--的 确，少的有点不正常。这是一部数学家的著作。他只论及真，而很少顾及他的实 际的读者。或许弗雷格不可救药地天真地认为他的系统足只为他一个人构造的， M.I)u111nlellt.Frege:phiIosophy ofI。anguage.2nd edjtion.Duck、、o九h:L.ondon.1981.p，xxxv 弗雷格逻辑研究二、概念文字 或许他吸引和鼓励读者熟悉现存的逻辑的处理的失败是一个迹象，这个迹象表明 即便是弗雷格本人也没有完全地理解他取得的成就和他的前辈之问存在一条多么 巨大的鸿沟。然而，也许正是由于读者对《概念文字》的始终如一的不理解反应， 反而促使弗雷格在众多解释性和比较性的文章中补充了若干被遗漏的环节。为了 理解他所提出的这些问题，我们必须像他所做的那样，从阐述系统的基本原理开 始。以下阐述传统的基本原理，至于写作动机的微言大义以及解释的可供争议的 问题将在随后讨论。 (二)概念符号系统的元素 l、严格区分了命题的表达与判断 弗雷格认为命题是表达思想的，任何一个命题里都含有一个思想。而对我们 来说，先要能够表达一个思想，理解一个思想，然后才能对它加以断定(注:弗 雷格当时并没有使用“命题”这一概念，而是把它叫做“可断定的内容")。他用 一条垂直短线加上一条水平短线来表示断定符号: “I."。例如，断定A，可写成 “|-A”。当我们做出一个判断的时候，我们就确定某一句子的内容是事实或不是 事实。断定符号右边的记号“A”或记号组合(代表命题)是被断定了的(即判断)。 在这旱，垂直短线“f”称为判断短线，水平短线“.”称为内容短线。“f.，， 是一个断定符号，如果断定符号去掉判断短线，那么“."表示内容短线右边的记 号所表达的内容是没有被加以断定的。“.’’是一个整体，断定是对这个整体的断 定。凡在内容短线后面的记号必定表达可断定的内容。例如:“l-，，表达“奥狄西 在睡着的时候被人送到伊萨卡的岸上”这样的一个判断，而“.A”就不表达这个 判断，只是在读者心中引起一种观念，它只是个有内容的而没有断定的命题。 2、真值蕴涵的提出 弗雷格明确提出了真值蕴涵的思想，并把蕴涵和否定作为基本的联结词。如 果说“A蕴涵B”(A和B代表可断定的内容，即命题)，用符号可表示为“一” (为便于理解，我使用现在普遍使用的符号)，那么A和B之间就有四种可能性: (1)A肯定，B肯定: (2)A肯定，B否定; (3)A否定，B肯定; (4)A否定，B否定。 这罩，除了第二种可能性不实现外，其余三种可能性的每;一个都可实现。弗 二、概念文字弗雷格逻辑研究 雷格把连接两条水平短线的垂直线称为条件短线，而把断定符号下面的垂直短线 称为否定短线，表示为“卜广A”，涵义是“A不出现”，即否定A或“非A”。 如果将内容短线、条件短线和否定短线以各种方式组合起来就可以表达其他的逻 辑联结词。如“B蕴涵非A”，用现代符号表示为“卜B一一A”;又如“并非B 蕴涵非A”用现代符号表示为“f-一(B一一1A)"。 3、内容同一符号“暮” 在《概念文字》中，弗雷格把“兰"看做是两个名字之间的关系，“卜(A三B)” 意为符号A和符号B有相同的概念内容，我们总能用B替换A，同时也能用A替 换B。这里，我需要说明一下，首先，弗雷格在这里对同一符号讨论得很少;其次， 他在《概念文字》中使用“兰”符号，但是后来在《算术的基本规律》中，他改 用符号“=”。此时，“="用于专名的指称，相当于等词;用于命题的指称(真 值)，则相当于现在的等值符号“H"(当且仅当)。 4、函项的提出 弗雷格把数学的函数概念引入逻辑中，提出了“函项”的概念。他首先引用 了函数和自变元。在数学中，，一般来说，自变元是数，数是个体的东西或对象， 函数则是一种关系。在概念文字中引入函数和自变元，以此来刻画句子中主词和 谓词的关系，从而产生重要结果。由于自变元是可替代的，因此可以通过替代自 变元来更好地表述和研究普遍性。 。弗雷格认为，一个句子表达了一种关系整体，其中一些词总是可以由另一些 词替代的，因此一个句子表达式可以分解为两部分:~部分是表达整体关系的固 定部分，另一部分是可由其它的词或符号替代的部分。前者叫函数，后者叫做它 的白变元，譬如对“氢气轻于碳酸气”这个句子，可以把“氢气’’看作自变元， 把“轻于碳酸气”看作函数，可以用其它一些词比如氮气替代氢气，这个句子的 意义就发生了变化。也可以把“碳酸气”看作自变元，这样“氢气轻于”就是函 数。对此，弗雷格有一段精确的说明:“如果在一个其内容不必是可判断的表达 式中在一个或多个位置上出现一个简单的或复合构成的符号，并且我们认为在所 有位置上或几个位置上可以用其它符号，但是只能用相同符号替代它，那么我们 就称这罩表达式所表现出的不变部分为函数，称可替代的部分为其自变元。" 卜炳艾校，商务印书馆，1994年，第2l一22吹10 弗雷格逻辑研究 在引入函项的基础上，弗雷格又引入全称量词、存在量词和约束变元。在他 的系统中，全称量词是基本的，而存在量词是由全称量词来定义的。 弗雷格首先通过引入普遍性的符号来引入全称量词。普遍性符号与函数符号 是不同的。首先是普遍性符号在其内容线上加一个凹处，再在凹陷处加一个德文 字母“a”，并且在函数后面的括号中即自变元的位置上换成“Q”。这样它 就表示这样一个判断:无论将什么看作其自变元，这个函数都是一个事实。凹处 左边的水平线是内容线，表示无论在Q的位置上代入什么，o(Q)都是有效的。 凹处右边的水平线是(Q)的内容线，表示在Q的位置上必须代入确定的内容， 德文字母写在凹处限制了通过这个字母表示的普遍性的范围。 这其实就是全称量词的符号。用现代逻辑符号表示为:(Vx)F(x)，涵义是: 对所有的x而言，x是F。存在量词用现代逻辑符号表示为:(jx)F(x)，涵义是: 并非所有x都不是F，即有x是F。 这罩需要指出的是弗雷格的量词域与现代逻辑的量词域的表述是不同的。现 代逻辑的量词域是用括号来表示的，而弗雷格是以内容线来表示的。比如对“V 二、概念文字弗雷格逻辑研究 eB(a，e)一A a)”，虽然可以用其它字母来代替e，但是不能用a来替代e，因为e 写在凹处，位于在a的凹处限定的范围之内，但是e与a是不同的。 还有一点也很重要，即不是像在函数(A)那里以自变元为自变元，而是以 这样的函数为自变元。这一点对弗雷格以后说明对象和概念之间的关系具有十 分重要的意义。 6、一阶谓词演算的公理和推理规则 构造了形式语言以后，弗雷格用这种语言建立了他的一阶谓词演算系统，他 的系统包括九条公理和两条推理规则。他用其中7条公理和2条推导规则，形成了一 阶谓词演算系统。为方便起见，我用现代逻辑符号表示如下(公理前面省去了断 定符号) 公理(6):p一-1_1p公理(7):P 推导规则(1):P-Q，Pl-Q 推导规则(2):P-Q(a)，I.P-Px 从现代逻辑的角度看，当把一个逻辑体系构造成一个形式系统后，我们就可以考察整个系统性能的优劣和功能的强弱。前者涉及可靠性，后者涉及完备性。 如果形式系统中的定理都是真命题，那么这个系统就是可靠的，反之，这个系统就 不是可靠的;另一方面，如果系统中的真命题都是该系统的定理，那么该系统就 是完全的。弗雷格证明了该系统的可靠性，即命题演算中只有真命题才是可证的。 但没有证明系统的完全性，这一证明直到1931年才由哥德尔完成。 (三)弗雷格概念文字的意义 无疑，弗雷格的概念文字是一项独创性的工作。如果说是亚罩士多德创造了 逻辑这门科学，那么可以说逻辑这门科学在弗雷格这罩获得了新生。在弗雷格以 前。由于逻辑用自然语言表述，由于逻辑学和心理学、认识论等哲学内容混在一起， 使得它的发展十分缓慢。在逻辑发展史上， 《概念文字》是一个光辉的咀程碑， 弗雷格逻辑研究 二、概念文字 它标志着现代逻辑的开端，它为逻辑提供了一种可以精确表述推理形式的形式语 言，这是一种用关系符号补充数学形式语言而构造的逻辑的形式语言，他为人们 提供了一套构造形式语言的方法，从而使逻辑走上了形式化的道路。此外，由于 使用形式语言和数学方法而获得成功，使得逻辑这门科学真正从哲学中分离出来， 成为一门完全独立的学科，应用范围越来越广。今天，逻辑不仅应用于数学基础的 研究，而且应用于哲学、语言学、自然科学、人工智能等领域。由于使用形式语 言而产生的这种变化和发展，逻辑已经成为一门与数学相似的基础学科，它为各 学科提供了一种普遍性的具有工具性质的语言，因此，也越来越受到人们的重视。 正像弗雷格在文中所说的那样:“我已经尝试用逻辑关系符号补充数学形式语言， 这样由此出现了一种首先用于数学领域的、J下像我描述的那样的理想的概念文字。 由此并不排除我的符号用于其他领域。逻辑关系到处反复出现，人们可以这样选择 表示特殊内容的符号，使得它们适应概念文字的框架。无论现在出现还是不出现 这种情况，对思维的一种直观描述毕竟有了一种超出数学范围的意义。因此，哲学 家们也想重视这个问题。”。 这样，我们就不能把《概念文字》看作是一部仅仅对逻辑才有意义和贡献的 著作。我们不仅应该认识到它对逻辑的重要性，还应该认识到它对哲学的重要性。 弗雷格后来的很多著作和思想都直接或间接地发源于这篇文章，所以要研究弗雷 格的其他著作，阅读这篇文章是十分重要的。 弗雷格:《弗雷}各哲学论酱选辑一论概念殳’，的科学根据》，I:路i簪，Ii炳丈校，商务E书馆:}:版，2006年 版，第45贞 13 三、算术基础 弗雷格逻辑研究 三、算术基础 弗雷格为了达到他的逻辑主义方案，准备做三步努力，第一步就是建立形式语言，这在他完成《概念文字》之后就已经成功了。第二步即是对数进行探讨和 定义，说明什么是数，什么是O、1和后继，为算术的形式系统做准备。第三步是 构造算术的形式系统。 (一)对数的定义 弗雷格在《算术基础》中讨论数的时候是与经验主义者和唯理主义者不同的， 他批评了有关数的各种错误的理论，提出了自己的理论。为此，他首先提出了三 条基本的方法论原则: 第一，要把心理学的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西明确区别 开来。 第二，必须在句子联系中研究语词的意谓，而不是个别地研究语词的意谓。 第三，要时刻看到概念和对象的区别。 这三条原则对弗雷格来说是十分重要的，它不仅是针对数这一概念，同时也 适合于很多问题的讨论，具有广泛的意义。 弗雷格讨论数是从语言方面出发的。在语言中他分析了数的表现形式，以此 来说明数的性质。他主要是通过对别人关于数的观点进行分析和批判从而得出自 己的结论的。 首先他批判了经验主义者的观点即数是外界事物的性质。在语言中，数有两 种形式，一种是作为专名出现的，另一种是作为形容词定语出现的。对于作为专 名出现的数，人们一般不会误解，例如“2是素数”，它很容易就使我们相信数是 个体的对象。而对于第二种形式，却很容易使我们认为数与颜色、重量和形状等 形容词相类似。作用和它们~样，表示外界事物的性质。如“五朵红花丌了”。 在弗雷格看来，这是不同的。比如我们说一棵树有10000片绿色树叶。那么，绿色 是每一片树叶所具有的性质，而我们却不能说10000是每片叶子的性质。最主要的 是像颜色、形状、重量等都是事物的性质，而数不是事物的性质。颜色、形状、 重量等都有客观外界的载体，而数没有这样的载体。比如，我们可以用手指着10000 棵树，但我们却不能用手指着10000这个数。在弗雷格看来，我们的思考方式决定 了我们应该把什么赋予事物，而这种思考方式却与考虑事物的颜色、性质和重量 14 弗雷格逻辑研究 三、算术基础 不同。由此弗雷格得出数不是外界事物的性质。 其次弗雷格认为数的概念不是通过抽象方法得到的。比如我们可以从血和树 叶分别抽象出“红的”和“绿的"这一概念，但我们不能有意义地说“红的数" 和“绿的数"或“红的表象”和“绿的表象”等。因此他认为如果一个概念是从 处于这个范围内的事物抽象而得，那么就不可能有意义地应用于处于这个范围之 外的事物。 弗雷格还批判了主观主义者的观点。在主观主义者看来，数完全是心灵的创 造。“随着心灵以不同的方式组合其观念，单位发生变化，而且J下像单位发生变 化一样，仅是单位聚合的数也发生变化”。哪而在弗雷格看来主观主义者的这一观 虑最终会使人把数看作是某种主观的东西，从而必须进行心理学的研究，而这正 好与他所提出的三条原则的第一条(即要把心理学的东西和逻辑的东西、主观的 东西和客观的东西明确区别丌来)相矛盾。在他看来，数既不是心理学的对象， 也不是心理过程的结果，从心理过程人们无法了解有关数的任何性质。数既不是 外界事物，也不是主观事物，而是“某种客观的东西”。他把客观的东西和可触 摸的东西、空间的东西或现实的东西区别开。.由此我们看出，弗雷格打破传统的 把事物区分为客观事物和主观事物的思维方式，他还区别出客观事物和客观的东 西，思维过程和通过思维过程而认识和把握的东西。实际上这就是他所谓的第三 范围即第三世界，只不过当时他没有明确地说出来而已。在他看来，客观外界事 物是客观的，而客观的东西却不一定是客观外界的事物。客观的东西是通过我们 的思维活动所认识和把握的，而不是由于我们的思维活动而产生的。数既不是客 观外界的事物也不是主观的表象，而是不可感觉的和客观的。 但是，到此为止，弗雷格仍然没有说明数是什么，而是提出一个问题，即通 过给出一个数，人们会对什么做出陈述?他假定前面有一群士兵，这样我们就可 (2)“这里有500人’’那么，对于这两种说法我们认为它们都是对的，但它们的说法是不同的。如 在(1)中的“4个连”变成了在(2)中的“500人”，同时我们还发现“4个连" 和“500人”都是一个带有数词(4、500)的概念词(连、人)。弗雷格认为这里 发生变化的既不是个别的东西，也不是整体(即集合)，而是他所用的称谓，实 际上是概念词。然而这仅仪是用一个概念替代了另一个概念，因此弗雷格提出了 I.路并，《弗雷格心恕研究》，}l:会科学义献…版}L，1996年版，第60贝 15 |
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