「口袋数学」数轴上AB=14，点P从A出发，以每秒5个单位长度的速度

【经典题型】

如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。

（1）写出数轴上点B表示的数 ________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；

（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；

（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】

（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，故答案是-6；8-5t

（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）

则AC=5x，BC=3x，

∵AC-BC=AB

∴5x-3x=14

解得：x=7，

∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q

（3）解：没有变化．分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP/2+ BP/2= （AP+BP）/2= AB/2=7

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP-NP= AP/2- BP/2= （AP-BP）/2= AB/2=7

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7

（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．

【总结】

（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标；

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出方程即可求解；

（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+NP进行计算即可；②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；

（4）分三种情况去绝对值符号：

x≥8时，原式=x+6+x-8=2x-2≥14;

-6≤x＜8时，原式=x+6+8-x=14;

x＜-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+2＞14，

综上所述得出最小值。

【举一反三】

已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+2|+（b﹣5）²=0，规定A、B两点之间的距离记作AB=|a﹣b|．

（1）求A、B两点之间的距离AB；

（2）设点P在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，通过计算说明是否存在x的值使PA+PB=10；

（3）设点P不在A、B之间，且在数轴上对应的数为x，此时是否又存在x的值使PA+PB=10呢？

【答案】

（1）解：∵|a+2|+（b﹣5）²=0，∴a+2=0，b﹣5=0，

解得：a=﹣2，b=5，

则AB=|a﹣b|=|﹣2﹣5|=7

（2）解：若点P在A、B之间时，PA=|x﹣（﹣2）|=x+2，|PB|=|x﹣5|=5﹣x，∴PA+PB=x+2+5﹣x=7＜10，

∴点P在A、B之间不合题意，

则不存在x的值使PA+PB=10

（3）解：若点P在AB的延长线上时，PA=|x﹣（﹣2）|=x+2，PB=|x﹣5|=x﹣5，由PA+PB=10，得到x+2+x﹣5=10，

解得：x=6.5；

若点P在AB的反向延长线上时，PA=|x﹣（﹣2）|=﹣2﹣x，PB=|x﹣5|=5﹣x，

由PA+PB=10，得到﹣2﹣x+5﹣x=10，

解得：x=﹣3.5，

综上，存在使PA+PB=10的x值，分别为6.5或﹣3.5

【总结】

（1）根据绝对值和平方的非负性可求得a、b的值；则AB=|a﹣b|可求解；

（2）由题意可得PA=|x﹣（﹣2）|=x+2，|PB|=|x﹣5|=5﹣x，求得PA+PB的值与10比较大小即可求解；

（3）由（2）知，点P在A、B之间不存在x的值使PA+PB=10，则点P可在AB的延长线上，分为AB的延长线和反向延长线两种情况讨论：①若点P在AB的延长线上时，PA=|x﹣（﹣2）|=x+2，PB=|x﹣5|=x﹣5，根据PA+PB=10列方程求解；②若点P在AB的反向延长线上时，PA=|x﹣（﹣2）|=﹣2﹣x，PB=|x﹣5|=5﹣x，根据PA+PB=10列方程求解。

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