数随我行 | 初中数学常考题型之构造相似模型

导语

本周的【数随我行】周老师将从数学思维和推理能力为大家讲解初中数学常考的模型构造，一起学起来吧！

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题目呈现

如图（1），已知正方形ABCD，点M为AB的中点。点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F。

求证：BE=CF

求证：

题目解析

本题重点考察学生对所学知识的综合运用能力，突出独立思考、分析问题和解决问题的能力，呈现思维高度。数学思维和推理能力的考察是中考试题的主要功能之一，本题在正方形的背景下立足三角形全等，相似的判定及性质的探究和证明。

第（1）问求证线段相等，根据题目条件可利用三角形全等解决，第（2）问是证明等积式，利用相似三角形，先把等积式化为比例式。利用线段相等进行代换，即可得证。

第（1）问

∵∠AGB=90°

∴∠GAB+∠ABG=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABE=90°，AB=BC，∠BCF=90°

∴∠ABG+∠CBF=90°

∴∠EAB=∠FBC

∵∠EAB=∠FBC，AB=BC，∠ABG=∠BCF

∴ABE BFC

∴BE=CF

第（2）问

证法一：借助四点共圆

如图2，连接EF

因为∠AGB=90°，点M为AB的中点，所以AM=GM，∠GAM=∠AGM=∠CGE。又∠EGF=∠ECF=90°。所以点E、C、F、G在同一个圆上，所以∠CFE=∠CGE=∠GAM。又∠ECF=∠EBA=90°，所以ECF~EBA，即。又因为BA=BC，BE=CF，故

证法2：构造平行线

如图3，过点M作MN∥BE，交AE于N。则MN是ABE的中位线，即。

因为∠AGB=90°，点M为AB的中点，所以AM=GM=MB，∠BGM=∠MBG=∠CGF。

在正方形ABCD中，AB∥CD，∠CFG=∠MBG，所以∠CFG=∠CGF，即CG=CF。由知CF=BE，因为MN∥BE，所以MNG~CEG，。又因为，，所以，从而得到。

证法3：构造平行四边形

如图4，延长GM到N，使MN=GM，连接AN和BN，则四边形AGBN是矩形，NG=AB=BC。

又易得CEG~CBN，所以。又因为∠AGB=90°，点M为AB的中点，所以AM=GM=BM，∠BGM=∠MBG=∠CGF，又知∠CFG=∠MBG，所以∠CFG=∠CGF。即CG=CF。由第问知CF=BE，所以CG=BE，于是，从而得到。

证法4：构造全等三角形

如图5，延长GM到N，使MN=GM，连接BN，则AMGBMN，所以∠MAG=∠MBN，AG∥BN。所以CEG~CBN，。又CMG~MBG，所以，又因为，

，所以，由于CF=BE，于是。

证法5：构造三角形中位线

如图6，取BE的中点N，连接MN，则MN是ABE的中位线，即MN∥AE。所以CEG~CMN，，，又CFG~MBG，所以。又因为

，所以，由于CF=BE，于是。

证法6：构造等腰三角形

如图7，延长AE，DC相交于点N。因为∠AGB=90°，点M为AB的中点，所以AM=GM，∠GAM=∠AGM=∠CGN，又AB∥DN，所以∠GAM=∠CNG，所以∠CGN=∠CNG，即CG=CN，同理可证CG=CF。所以CN=CF=BE。由CEN~BEA，得，即，所以。

证法7：运用代数计算方法证明出黄金分割点

因为∠AGB=90°，点M为AB的中点，所以AM=GM=BM，∠GBM=∠MGB=∠CGF。

又AB∥DC，所以∠GBM=∠CFG，所以∠CGF=∠CFG，即CG=CF。由问知BE=CF，所以CG=BE。

设正方形ABCD的边长为m，则AM=GM=BM=m，设BE=x，在RtBCM中，根据勾股定理得，所以，所以点E是BC边上的一个黄金分割点，即。

小结

上述的各种证法充分展示出学生的数学思维，从知识层面看，试题很好地考察了学生的综合运用基础知识、基本技能的能力；从思维的难度和深度看，试题挑战学生学生的逻辑推理、数学运算等数学素养。