三角函数最值问题典型错例剖析

三角函数最值问题典型错例剖析

三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。学生在解决这些问题过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。

例1. 已知，求的最小值。

错解：由，得，则

故

剖析：错在忽视了三角函数的有界性。

正解：

因为，所以当时，

当时，

例2. 已知，求函数的最大值和最小值。

错解：

由，得

所以

故

剖析：单调函数的最值在边界上，但正弦函数在闭区间上不单调，因此，函数最值不一定在区间端点处取得。此题错在误用了函数单调性的性质。

正解：

因为

由函数的图象易知

所以

例3. 已知，求函数的最大值和最小值。

错解：

因为

所以

剖析：错在忽视了条件中对自变量的限制。

正解：，由

得

所以

故

例4. 已知，求函数的最大值。

错解：

当时，有

剖析：错在忽视了参数的变化对函数最值的影响。

正解：

因为，所以

当，即时，

有时，

当，即时，

有时，

当，即时，

有时，

例5. 求函数的最大值和最小值。

错解：原函数化为

关于的二次方程的判别式

即

所以

剖析：若取，将导致的错误结论，此题错在忽视了隐含条件。

正解：原函数化为

当时，解得，满足

当时，解得

又，则有

或

解得

所以

例6. 求函数的最值。

错解：

当即时，有

剖析：错在利用均值不等式求函数最值时，忽视了“正数、定值、相等”三个条件缺一不可。

正解：当时，

故

当时，

故