 01 同学们都知道， 表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5-（-2）| ＝________． （2）同理 |x+5|+|x-2| 表示数轴上有理数x所对应的点到－5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得 |x+5|+|x-2| ＝7，这样的整数是________． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x， |x+6|+|x-3| 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【解答】 解：（1）原式=|5+2|=7； （ 2 ）令x+5=0或x-2=0时，则x=-5或x=2 当x＜-5时， ∴-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，x=-5（范围内不成立） 当-5＜x＜2时， ∴（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7， ∴x=-4，-3，-2，-1，0，1 当x＞2时， ∴（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，x=2，x=2（范围内不成立） ∴综上所述，符合条件的整数x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2； （3）解：当-6≤x≤3的时候， | x + 6 | + | x − 3 |=x+6-x+3=9,故最小值是9. 【总结】 （1）由于绝对值符号本身具有括号的作用，先算绝对值符号里面的减法，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号； （2）令x+5=0或x-2=0时，则x=-5或x=2找出界点，然后分①x＜-5时，②-5＜x＜2时，③x＞2时，④x=5时，⑤x=2，5种情况根据绝对值的意义去掉绝对值符号，判断是否符合题意，再找出这些范围内的整数即可； （3）根据两点之间线段最短，故当数轴上表示x的点位于-6与3之间的距离的时候x到-6的点的距离，与x到3的点的距离之和就是点-6表示的点与表示3的点之间的距离，根据两点之间线段最短即可得出答案。 02 同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值； （4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________； （5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________. 【解答】 （1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；故答案为 2或6； （2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1. （3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10; （4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9； (5)此题可以理解为数轴上一点到1，-2,3，-4…-2n,(2n+1)的距离和最小，根据两点之间线段最短，故当a=1的时候，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是2n+2n+1=4n+1. 【总结】 （1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可； （2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可； （3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可； （4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可； （5）根据（4）的规律，此题可以理解为数轴上一点到1，-2,3，-4…-2n,(2n+1)的距离和最小，根据两点之间线段最短，故当a=1的时候，其值最小，最小值是2n+2n+1=4n+1. 著作权归作者所有
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