统计学系列——假设检验之u检验和t检验

我们之前文章里介绍的卡方检验运用于分类数据的问题，数据是离散的。今天我们要讨论有关连续性数据的检验问题，是与最重要的正态分布有关的。

u检验和t检验

我们使用例子：工厂供给用户一种产品，要求的规格是每袋100千克。现用户对这项规格是否达到有怀疑，决定抽取若干袋进行检查，来看看这种怀疑是否有根据。

若以X记从该厂随机抽取的一袋产品的重量，则X为随机变量。检验步骤如下：

（1）设定如下前提

1） 假定X服从正态分布，这形式上是一个纯粹的数学性假定，但正如我们以前文章里介绍正态分布时提到的，它有一定的理论和经验上的根据

2） 在X~N(a,σ^2)的前提下，我们把要检验的原假设表示为：a=100(首先，因有随机因素的干扰，不论厂方主观上如何努力，也不能做到每袋恰为100千克，因此，所提规格应解释为:X的均值为100(千克)；另外，原假设不表示为a不等于100，是因为在没有实地检查前不好先天地认为它不合规格，且在正常情况下，厂方也会努力做到合规格。因此，在得出“不合规格”的结论时，应当更为慎重)

（2）抽样并在原假设的前提下算出样本的拟合优度（对于拟合优度以及检验水平的解释详见卡方检验一章）

设从工厂产品中抽取n袋，以x₁，…，x_n记它们的重量，则`x＝∑x<sub>i</sub>/n是均值a的良好估计。若原假设成立，则a＝100，故|`x-100|应倾向于小。因此，我们自然地把那些满足条件

的样本(X₁，…，X_n)看作比`x更背离原假设。在原假设下算出这些样本的概率，即为样本的拟合优度。则

(3)假定方差已知。使用u检验法

因为

有标准正态分布，记此变量为Y～N(0,1)。则拟合优度的计算式可改写为

由样本和已知的方差值算出

然后就可由正态分布表查出拟合优度的值（等于下图中斜线部分的面积）。

给定水平α后，按照要求

(4)假定方差未知。使用t检验法

在方差未知时，我们引进样本方差s²（总体方差的估计），用如下准则表示样本(X₁，…，X_n)比`x更背离原假设

当原假设成立时，统计量

服从自由度为n-1的t分布t_n-1。由此可知拟合优度

由样本和样本方差s²算出

然后就可由t分布表查出拟合优度。

对于给定水平α，按照要求，当且仅当

即

亦即

假设检验与区间估计的关系

对正态总体N(a，σ^2）的均值a，我们讨论过它的区间估计和假设检验问题。将其结果作一比较，会发现一件有趣而重要的事实。

先看方差已知的情况：

设样本为x₁，…，x_n，`x为样本均值

比较二者可看出，当且仅当a₀落在(1)中的那个区间内时，原假设a＝a₀才被接受。这就在区间估计和假设检验之间建立了一个密切联系，使知其一便可推出其他。当然，这一切都是在同一个α之下进行的(检验水平为α，置信系数为1-α)。

再看方差未知的情况，以s²记样本方差。

情况与方差已知时完全类似：当且仅当a₀落在(1)中的区间之内时，才接受a＝a₀。