绝对值的知识点应该是初一所学内容比较难的一节,涉及到了三种初中主要的思想方法:分类讨论思想、整体思想和数形结合思想。 一、分类讨论思想 在化简绝对值时,需要对绝对值里面式子的正负性来去绝对值。当绝对值里面的式子是非负数时,取本身;当绝对值里面的式子是非正数时,取相反数。 例题1:已知a>0,b<0,c<0,且|b|>|c|,化简|c-a|+|c-b|+|b-a|的值是多少? 【分析】化简求值题,需要去绝对值,去绝对值之前需要清楚的知道绝对值里面式子的正负性。已知c<0,a>0,可以得到c-a<0;已知b<0,c<0,且|b|>|c|,可以得到c-b>0;已知a>0,b<0,可以得到b-a<0。 解:由题意得:c-a<0、c-b>0、b-a<0 原式=-(c-a)+(c-b)-(b-a)=-c+a+c-b-b+a=2a-2b 二、整体思想 绝对值化简时,有时需要把被化简的式子看作一个整体。 例题2:若|a+1|=2,则a的值是多少? 【分析】已知|a+1|=2,将绝对值里面的式子a+1看作一个整体,先考虑谁的绝对值是2,可以知道±2的绝对值都等于2,也就是说a+1这个整体等于±2。 解:由题意得:a+1=2或a+1=-2 解得:a=1或-3 三、数学结合思想 绝对值的几何意义:数轴上,表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。如|a|可以表示数a所表示的点与原点的距离。为了更直观的看出,我们可以把|a|看作|a-0|,这样就能很明显地看出表示数a的点与原点0的距离。 那么,|a-1|表示的几何意义是什么呢?应该看成是表示数a的点与1的距离。那么,|a+1|表示的几何意义又是什么呢?我们先要变下形,把|a+1|变成|a-(-1)|,这样我们就可以直观的看出:|a-(-1)|表示的是数a与-1之间的距离,所以|a+1|表示的就是数a与-1之间的距离。 同理,你能说出|x-a|和|x+a|的几何意义吗? 例题3:求|x-1|+|x-2|的最小值 分析:|x-1|表示数x的点与数1之间的距离;|x-2|表示数x的点与数2之间的距离;那么|x-1|+|x-2|表示的为数x的点到1和2的距离之和。我们不妨在数轴上,设点A、B、P三点对应的数分别为1、2和x。 当1≤x≤2,即点P在线段AB上时,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=|1-2|=1 当x<1,即点P在点A左侧时,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=PA+PA+AB=2PA+AB>AB 当x>2,即点P在点B右侧时,此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=PB+AB+PB=2PB+AB>AB 综上所述:当1≤x≤2时,|x-1|+|x-2|最小,最小值就是数1与数2之间的距离:|1-2|=1 思考题: 1.若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值; 2.若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值; 3.若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值; 4.若x表示一个有理数,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-2014|+|x-2015|的最小值 |
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