初一上学期，整式加减中两种常用的数学思想方法，都需要掌握

数学思想方法是考试中的热点，初中阶段，我们会遇到一系列的数学思想方法，比如：数形结合思想、整体思想、换元思想、分类讨论思想、类比思想、方程思想等等。在整式加减法中，有两种常用的数学思想方法需要掌握，在解题过程中要会灵活运用。

数学思想一：整体代入思想

整体代入思想是我们接触得比较早的一类思想，特别是在整式的加减法中，很多题目都运用到这种思想。

例题1：已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，求-2mn+1000（b+a）-x的值．

分析：根据互为相反数的两个数的和等于0可得a+b=0，互为倒数的两个数的积等于1可得mn=1，根据绝对值的性质求出x，然后代入代数式进行计算即可得解

解：由题意知：a+b=0，mn=1，x=2或-2，

当x=2时，-2mn+1000（b+a）-x=-2+0-2=-4，

当x=-2时，-2mn+1000（b+a）-x=-2+0-（-2）=0．

小结：这类问题很常见，互为相反数的两个数和为0，商为-1（两个数中没有0时）；互为倒数的两个数乘积为1.

例题2：已知a+b=3，b-c=12，求a+2b-c的值.

分析：三个未知数两个方程无法直接求出a、b、c的值，因此本题我们需要观察式子的特征，可以发现将两个等式的左边相加正好得到a+2b-c，那么我们应该将等式的左边与左边相加，右边与右边相加即可得到a+2b-c=3+12=15.

当然，本题也可以用一个字母表示另外两个字母，比如用b分别表示a和c，那么a=3-b，c=b-12，然后将其代入a+2b-c中，得：3-b+2b-（b-12）=15.

例题3：已知2m-3n=4，求代数式4m-6n+5的值.

分析：原式可化为2（2m-3n）+5，2m-3n=4整体代入即可.

解：4m-6n+5=2（2m-3n）+5=2×4+5=8+5=13.

例题4：已知a-2b=5，b-c=-3，3c+d=9，求（a+3c）-（2b+c）+（b+d）的值．

分析：与例题2类似，两种处理方法，其一：由（a+3c）-（2b+c）+（b+d）得到（a-2b）+（b-c）+（3c+d），依据a-2b=5，b-c=-3，3c+d=9，整体代入进行计算即可。其二：用一个字母去表示其它字母进行求解。

解：（a+3c）-（2b+c）+（b+d）=a+3c-2b-c+b+d=（a-2b）+（b-c）+（3c+d），∵a-2b=5，b-c=-3，3c+d=9，∴原式=5-3+9=11．

数学思想二：数形结合思想

数形结合思想在整式加减法中也能常遇到，比如与数轴的结合、与各种平面几何图形的结合等等。

例题5：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b-c|+2|a+b|-|c-a|．

分析：直接利用数轴得出各式的符号进而化简得出答案，绝对值内代数式为负数时，化简的结果为其相反数；绝对值内代数式为郑虎，化简的结果为其本身．

解：由数轴可得：b-c＜0，a+b＜0，c-a＞0，

∴原式=-（b-c）-2（a+b）-（c-a）=-b+c-2a-2b-c+a=-a-3b．

例题6：舞台平面图如图所示．（1）试用含a，b的式子表示该舞台的面积S（阴影部分）；（2）若a，b满足（a-b）2+|b-5|=0，求出该舞台的面积．

分析：（1）用长、宽分别是2a、2b的长方形的面积减去长、宽分别是b、2a-0.5a-a的长方形的面积，表示出该舞台的面积S即可．（2）根据a，b满足（a-b）2+|b-5|=0，可得：a-6=0，b-5=0，所以a=6，b=5，据此求出该舞台的面积是多少即可．

解：（1）根据题意得S=2b2a-b（2a-0.5a-a）=4ab-0.5ab=3.5ab

（2）∵（a-6）2+|b-5|=0，

∴a-6=0，b-5=0，

∴a=6，b=5，

∴S=3.5×6×5=105

答：该舞台的面积为105．