人大附中初一作业绝对值最值问题一

例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

       3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

       4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、

1）非负数：0和正数，有最小值是0

2）非正数：0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0

4）x是任意有理数，m是常数，

   则|x+m|≥0，有最小值是0

    -|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，

 则|x+m|+n≥n，有最小值是n

  -|x+m|+n≤n，有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3）

 

总结：

根据3）、4)、5）可以发现，当绝对值前面是“+”时，代数式有最小值，有“—”号时，代数式有最大值

在没有学不等式的时候，很好的理解（4）和（5）有点困难，若实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了）

 

例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

       3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

        4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0

    2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3

    3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

    4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3）问一样（同学们要学会变通哦 O(∩_∩)O~）

     即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3

 

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

解：1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0

    2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3

    3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3

    4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3（同学们要学会变通哦 O(∩_∩)O~）

 

请同学们总结一下问题

若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

 

相关习题连接

含有绝对值的代数式化简问题：http://blog.sina.com.cn/s/blog_673b31580101h3cq.html

化简代数式 |x+1|+|x-2|

化简代数式 |x+1|+|x-2|

化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|

 含有绝对值的代数式中最值问题一：http://blog.sina.com.cn/s/blog_673b31580101h3dd.html

 

例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

       2)当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？

       3)当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？

       4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

       2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

       3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

       4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

含有绝对值的代数式中最值问题三：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_673b31580101h3du.html

例题：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值

 

 

含有乘方的代数式中最值问题：http://blog.sina.com.cn/s/blog_673b31580101h6jp.html

例题：

    （1）当a取何值时，代数式（a-3)2 有最小值，最小值是多少？

（2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？

（3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？

（4）当a取何值时，代数式-（a-3)2  有最大值，最大值是多少？

（5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？

（6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？

（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？