反比例函数(提高)知识讲解

反比例函数（提高）

 

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，定义域是不等于零的一切实数.

要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；

　　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

    确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

　 （1）设所求的反比例函数为： ()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.

要点三、反比例函数的图象和性质

　　1、 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

    要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

要点四、反比例函数()中的比例系数的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

     要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

【典型例题】

类型一、反比例函数定义 

1、为何值时，是反比例函数？

【答案与解析】

解：由  得  ∴ 

【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式，也可以写成，后一种写法中的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件，且，二者缺一不可．

类型二、确定反比例函数的解析式

2、已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．

(1) 与之间的函数关系式；

(2)自变量的取值范围；

(3)当＝4时，的值．

【答案与解析】

解：(1)∵  与成正比例，

∴  设．

∵  与成反比例，

∴  设．

∴  ．

把与分别代入上式，得

∴