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最近，有一个数学爱好者问了我一个比较专业的问题：如何证明任意一个三角形，以三边为边长向外作正三角形，这三个正三角形的中心连线，也可以构成一个正三角形？其实想解答它，并不简单．今天我们从费马问题开始，谈一谈与费马点相关的平面几何定理及性质． 费马问题：＂已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极少．＂它的答案是： １．如果一个三角形每个内角都小于120度，所求的点为三角形的正等角中心；（正等角：点与三角形任意两点的连线的夹角为120度）． 编辑搜图 ２．如果一个三角形的一个内角大于或者等于120度，所求点为三角形最大内角的顶点． 以上所求的点即为费马点． 其实，它又称为托里拆利点，因为费马是将问题以私人信件的形式给到托里拆利，而托里拆利也顺利地解决了这个问题． 费马问题的证明编辑搜图 请点击输入图片描述 其实证明不难，利用旋转，将三边汇聚成一条折线，当四点共线时，可取最小值．当然，这个证明易懂，但比较粗糙，需要对细节进行讨论．主要讨论三角形最大的内角与120度的大小关系，影响最小值的点．由于篇幅所限，同学们可以自行去了解更多． 尺规画出托里拆利点我们已经知道了，对于多数三角形（最大内角小于120度）的费马点在三角形内部．那如何作出这个点呢．其实作法非常简单，以三边分别作正三角形，分别作出正三形的外接圆，三个圆交于一点，则此点即为费马点，也叫托里拆利点．斯太纳提出并推广了它，又称斯太纳问题． 编辑搜图 请点击输入图片描述 回到刚开始的问题，以三角形三边分别作正三角形，三角形中心的连线可以构成正三角形． 证明的方法比较多，多数也比较繁杂，对于学生来讲有一定的困难．下图是一种较为简洁的证明方法，当然前提是了解费马点的作用． 编辑搜图 请点击输入图片描述 当然，证明方法很多，想了解更多的同学可以自行查阅更多的资料．当然，以上内容作为兴趣阅读，初中课内是不作要求的． |
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