全等三角形在考试中,辅助线的做法是经常会用的,也是解决证明题的有效的方法之一,继详解中点相关辅助线的做法后,今天和同学们一起学习与角平分线相关题型的辅助线的做法。希望能够帮助到同学们更好的理解辅助线的做法,以及更好的学好几何证明题。 例1. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,DE平分∠ADC交BC于E,AD=AB CD. (1)求证:E是BC的中点; (2)判断AE与DE的位置关系,并说明理由;(3)求证:AE平分∠DAB. 【解析】证明:(1)延长DE交AB延长线于点F, ∵CD∥AB,∴∠CDE=∠F,∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠ADE,∴∠ADE=∠F,∴AD=AF, ∵AD=CD AB,AF=AB BF,∴BF=CD,在△CDE和△BFE中,∵∠CDE=∠F,∠CED=∠BEF,CD=BF,∴△CDE≌△BFE,∴CE=BE,即E是BC中点; (2)(3)由(1)知,△CDE≌△BFE,∴DE=EF,∵AD=AF,∴AE⊥DF,AE平分∠DAB, 即AE⊥DE;AE平分∠DAB. 例2. 已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证:BAD ∠BCD=180°. 【解析】证明:过点D作DE⊥BC于D,DF⊥AB于F, ∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF,在Rt△CDE和Rt△ADF中,∵AD=CD,DE=DF,∴Rt△CDE≌Rt△ADF,∴∠C=∠FAD,∵∠FAD ∠BAD=180°,∴∠C ∠BAD=180°. 例3. 如图,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是△ABC的角平分线.求证:AC CD=BC. 【解析】证明: 在BC上截取CE=AC,连接DE, ∵CD是△ABC的角平分线,∴∠ACD=∠ECD,在△ACD和△ECD中,∵AC=CE,∠ACD=∠ECD,CD=CD,∴△ACD≌△ECD,∴∠A=∠CED,∵∠A=2∠B,∴∠CED=2∠B,∵∠CED是△BDE的外角,∴∠CED=∠B ∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴DE=BE=AD,∴BC=CE BE=AC AD. 例4. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上,(1)如图1,点A与点C关于y轴对称,点E、点F分别是线段AC、AB上的点(点E不与点A、C重合),且∠BEF=∠BAO,若∠BAO=2∠OBE,求证:AF=CE. (2)如图2,OA=OB,△AMN是等腰三角形,将△AMN绕点A旋转,且AM=MN,∠AMN=90°,连接BN,取BN的中点P,猜想OP与MP的位置关系与数量关系,说明理由. 【解析】证明:(1)∵点A与点C关于y轴对称, ∴OA=OC,AB=BC,∠BAO=∠BCE,∵∠AFE是△BEF的外角,∠BEC是△ABE的外角, ∴∠AFE=∠ABE ∠BEF,∠BEC=∠ABE ∠BAO,∵∠BEF=∠BAO,∴∠AFE=∠BEC, ∴∠AEF=∠CBE,∴∠ABO=∠CBO=∠EBO ∠CBE=∠EBO ∠AEF, ∴∠FBE=∠ABO ∠EBO=2∠EBO ∠AEF,∠BFE=∠BAO ∠AEF=2∠EBO ∠AEF, ∴∠FBE=∠BFE,∴EF=BE,在△AEF和△CBE中,∵∠FAE=∠ECB,∠AFE=∠BEC,EF=BE, ∴△AEF≌△CBE,∴AF=CE. (2)OP⊥MP,OP=MP,理由如下,延长MP至C,使PC=MP,连接BC,MO,延长AM交BC于D,连接OC,ON, ∵P为BN的中点,∴PN=PB,在△MPN和△CPB中,∵PN=PB,∠MPN=∠CPB,MP=CP, ∴△MPN≌△CPB,∴MN=AM=BC,∠MNP=∠CBP,∴MN∥BC,∵∠AMN=90°,∴∠ADB=90°,∴∠OBD=∠MAO,在△AMO和△BCO中,∵OA=OB,∠OBD=∠MAO,AM=BC,∴△AMO≌△BCO,∴OM=OC,∠MOA=∠COB,∴∠MOC=∠MOB ∠BOC=∠MOB ∠BOA=90°,即△OMC是等腰直角三角形,又因为MP=PC,∴OP⊥MP,OP=MP. 例5. 如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,BA=AC(1)如图1,AB=8,点D是AC边上的中点,求△BCD的面积.(2)如图2,若BD是△ABC的角平分线,猜想线段AB、AD、BC三者之间的数量关系,并说明理由.(3)如图3,若点E、D是AC边上的两点,且AD=CE,AF⊥BD交BD、BC于F、G,连接BE、GE,求证:∠ADB=∠CEG. 【解析】证明:(1)∵∠BAC=90°,BA=AC=8,D是AC边上的中点, ∴AD=CD=4,∴S△BCD= S△ABD=16. (2)BC=AB AD,理由如下,过点D作DE⊥BC于E, ∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠BAC=90°,∴AD=DE,∠BAD=∠EBD,∴△ABD≌△EBD, ∴AB=BE,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴∠C=∠CDE=45°,∴CE=DE=AD, ∴BC=BE CE=AB AD. (3)过点C作CH⊥AC,交AG的延长线于点H, 由题意知,∠DAF ∠ADF=∠ABD ∠ADF=90°,∴∠DAF=∠ABD,∵AB=AC,HCA=∠DAB, ∴△ABD≌△CAH,∴AD=CH,∠ADB=∠H,∵AD=CE,∴CH=CE,∵∠ACB=45°,ACH=90°, ∴∠BCH=∠ACB=45°,∴△ECG≌△HCG,∴∠GEC=∠H,∴∠ADB=∠CEG. |
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