当以读书通世事 / 41-数学(大中... / 一题多解,数学思想的完美体现

0 0

   

一题多解,数学思想的完美体现

2019-10-21  当以读书...

题目: 如图1,点F是正方形ABCD的边CD上一点,以点A为圆心、AB为半径的弧与BF交于点E,则∠DEF=_________

一题多解,数学思想的完美体现

一.运用方程思想

解法1如图2,连结AE,则AB=AE=AD.

一题多解,数学思想的完美体现

设∠AEB=x,∠AED=y,则∠ABE=∠AEB=y, ∠ADE=∠AED=y,

∴∠BAE+∠DAE = 1/2(180°) =90°

可得, 即∠BED=135°, ∴∠DEF=45°.

解法2 如图3,作AP⊥BE于点P,作A Q⊥ED于点Q.

一题多解,数学思想的完美体现

根据垂径定理,BP=PE,EQ=QD,

故可设∠BAP=∠PAE=m。

∠DA Q=∠QAE=n.

由∠BAD=90°,得m+n=45°,即∠PA Q=45°,

∴∠BED=135°, ∴∠DEF=45°.

点评两种解法,都是运用字母表示数,根据相关条件找出等量关系,体现了方程思相事实上,这里没有求出相应未知数的值,这又体现了整体思想.

二.运用特殊化思想

解法3如图4,连结AC,交弧BD于点E,连BE并延长交CD于点F,连DE.

一题多解,数学思想的完美体现

∵AB=AE=AD, ∠BAE=∠DAE=45°,

∴∠ BEA=∠DEA=67.5°. 即∠BED=135°, ∴∠DEF=45°.

点评因为F是CD上的任意一点,当然包括某个特殊情形,所以本解法适当改变了图形,采用了点F的特殊位置.解有关数学填空或选择题,采用特别数值或特殊位置等,是常见的一些比较好的思想方法.

三.运用圆周角定理

解法4如图5,连结AE、BD,根据圆周角定理,得

一题多解,数学思想的完美体现

∠BDE=½∠BAE,∠ DBE=½∠DAE,

∴∠DEF=∠DBE+∠BDE =½∠BAD=45º.

解法5 如图6,补全圆A,则优弧BMD所对的圆心角270°,所以圆周角∠BED=

135°,从而∠DEF=45°.

一题多解,数学思想的完美体现

解法6 如图7,在优弧上任取一点M,连接.MD、MB,根据圆周角定理,AM=45°.四边形BMDE是圆A的内接四边形,再根据圆内接四边性质,∠DEF=∠M=45°.

一题多解,数学思想的完美体现

点评圆周角,是《圆》的核心内容之一,所以很自然地想到运用圆周角定理.事实上,在解法5和解法6里,又都体现了补全思想,很巧妙.

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。如发现有害或侵权内容,请点击这里 或 拨打24小时举报电话:4000070609 与我们联系。

    猜你喜欢

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多